ПАРАМЕТРИ́ЧЕСКИЕ НЕУСТО́ЙЧИВОСТИ

ПАРАМЕТРИ́ЧЕСКИЕ НЕУСТО́ЙЧИВОСТИ, са­мо­про­из­воль­ное на­рас­та­ние воз­му­ще­ний ко­ле­ба­тель­ных сис­тем и вол­но­вых струк­тур, воз­ни­каю­щее в ре­зуль­та­те про­стран­ст­вен­но-временнóй мо­ду­ля­ции па­ра­мет­ров, ха­рак­те­ри­зую­щих час­то­ту собств. ко­ле­ба­ний. Про­стей­шие при­ме­ры П. н.: рас­кач­ка ме­ха­нич. ко­ле­ба­ний ма­ят­ни­ка пе­ре­мен­ной дли­ны, рас­кач­ка элек­трич. ко­ле­ба­ний ре­зо­нанс­но­го кон­ту­ра с пе­ре­мен­ной ём­ко­стью или ин­дук­тив­но­стью. Ес­ли па­ра­метр ос­цил­ля­то­ра ме­ня­ет­ся по гар­мо­нич. за­ко­ну, то ко­ле­ба­ния опи­сы­ва­ют­ся урав­не­ни­ем Ма­тье: $$\frac{d^2x}{dt^2}+\omega^2_0[1+m\cos(\omega_нt)]x=0,\tag1$$ где $x$ – про­стран­ст­вен­ная ко­ор­ди­на­та, $t$ – вре­мя, $ω_0$ – собств. час­то­та ос­цил­ля­то­ра, $m$ – глу­би­на мо­ду­ля­ции, $ω_н$ – час­то­та на­кач­ки.

Урав­не­ние (1) име­ет ре­ше­ние $x=C_1x_M(ω_0t)e^{γt}+C_2x_M(–ω_0t)e^{–γt}$, где $γ$  – ха­рак­те­ри­стич. по­ка­за­тель, $x_M(ω_0t)$ – ог­ра­ни­чен­ная пе­рио­дич. функ­ция с пе­рио­дом $π$ или $2π$, $C_1$ и $C_2$ – кон­стан­ты. Ко­ле­ба­ния рас­ка­чи­ва­ют­ся, ес­ли $γ$ – дей­ст­ви­тель­ная ве­ли­чи­на, и ус­той­чи­вы, ес­ли $γ$  – мни­мое чис­ло. На рис. 1 по­ка­за­на диа­грам­ма П. н. (за­штри­хо­ван­ные об­лас­ти) в ко­ор­ди­на­тах нор­ми­ро­ван­ной час­то­ты $а=4ω_0^2/ω_н^2$ и ин­дек­са мо­ду­ля­ции $q=mω_0^2/ω_н^2$. Ко­ле­ба­ния наи­ме­нее ус­той­чи­вы при па­ра­мет­ри­че­ском ре­зо­нан­се

$a=1$, ко­гда час­то­та на­кач­ки в 2 раза пре­вы­ша­ет собств. час­то­ту ос­цил­ля­то­ра: $ω_н=2ω_0$. Ши­ри­на ре­зо­нан­са и ин­кре­мент не­ус­той­чи­во­сти рас­тут про­пор­цио­наль­но глу­би­не мо­ду­ля­ции $m$. При на­ли­чии от­строй­ки от ре­зо­нанс­ной час­то­ты и по­гло­ще­ния П. н. про­яв­ля­ет­ся, ес­ли $m$ пре­вы­ша­ет оп­ре­де­лён­ное по­ро­го­вое зна­че­ние; то­гда воз­му­ще­ние на­чи­на­ет рас­ти с уров­ня шу­мов (те­п­ло­вых, кван­то­вых и др.), от­би­рая энер­гию на­кач­ки. В не­ли­ней­ном ко­ле­ба­тель­ном кон­ту­ре мо­ду­ля­цию ём­ко­сти мож­но осу­ще­ст­вить, воз­дей­ст­вуя мощ­ным сиг­на­лом на­кач­ки на час­то­те $ω_н$ на вклю­чён­ный в цепь по­лу­про­вод­ни­ко­вый ди­од.

В не­ли­ней­ных сре­дах с рас­пре­де­лён­ны­ми па­ра­мет­ра­ми взаи­мо­дей­ст­ву­ют вол­ны и ко­ле­ба­ния разл. фи­зич. при­ро­ды. Напр., в плаз­ме и ди­элек­три­ках ин­тен­сив­ная вол­на на­кач­ки осу­ще­ст­в­ля­ет про­стран­ст­вен­но-временнýю мо­ду­ля­цию ди­элек­трич. или маг­нит­ной про­ни­цае­мо­сти по за­ко­ну бе­гу­щей вол­ны. Рас­про­стра­не­ние сла­бых волн в сре­де с мо­ду­ли­ро­ван­ным па­ра­мет­ром опи­сы­ва­ет­ся урав­не­ни­ем $$\frac{\partial^2 E}{\partial x^2}+\frac{\partial^2E}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 E}{\partial z^2}+\frac{εμ}{c^2}\frac{\partial^2 [1+m\cos(ω_нt-k_нz)]E}{\partial t^2}=0,\tag2$$ где $E$ – на­пря­жён­ность элек­трич. по­ля, $x$, $y$, $z$ – про­стран­ст­вен­ные ко­ор­ди­на­ты, $ε$ – ди­элек­трич. про­ни­цае­мость, $μ$ – маг­нит­ная про­ни­цае­мость, $k_н$ – вол­но­вое чис­ло вол­ны на­кач­ки. Ре­ше­ние урав­не­ния (2) по­ка­зы­ва­ет, что в сре­де с квад­ра­тич­ной не­ли­ней­но­стью в по­ле вол­ны на­кач­ки од­но­вре­мен­но на­рас­та­ют 2 вол­ны (рис. 2, а) с час­то­та­ми и вол­но­вы­ми век­то­ра­ми, удов­ле­тво­ряю­щи­ми ус­ло­ви­ям па­ра­мет­рич. ре­зо­нан­са (рас­пад­ным ус­ло­ви­ям): $$ω_н=ω_1+ω_2,\quad \boldsymbol k_н=\boldsymbol k_1+\boldsymbol k_2.\tag3$$ Рас­по­ло­же­ние вол­но­вых век­то­ров при фа­зо­вом син­хро­низ­ме (3) изо­бра­же­но на рис. 2, б. Для ква­зи­ча­стиц, об­ла­даю­щих энер­ги­ей $\hbar ω$ и им­пуль­сом $\hbar \boldsymbol k$ ($\hbar$ – по­сто­ян­ная План­ка), рас­пад­ные ус­ло­вия мож­но ин­тер­пре­ти­ро­вать как за­ко­ны со­хра­не­ния энер­гии и им­пуль­са при рас­па­де кван­та с энер­ги­ей $\hbar ω_н$ и им­пуль­сом $\hbar \boldsymbol k_н$ на два дру­гих ($\hbar ω_1$, $\hbar \boldsymbol k_1$ и $\hbar ω_2$, $\hbar \boldsymbol k_2$). Т. к. при рас­па­де энер­гия пе­ре­да­ёт­ся обо­им об­ра­зую­щим­ся кван­там, они име­ют мень­шие час­то­ты, чем квант вол­ны на­кач­ки: $ω_1,ω_2<ω_н$. Ес­ли вол­на на­кач­ки и проб­ные вол­ны (сиг­наль­ная и хо­ло­стая) при­над­ле­жат од­ной и той же вет­ви дис­пер­си­он­ной кри­вой ко­ле­ба­ний, то рас­пад­ные ус­ло­вия вы­пол­ня­ют­ся не для вся­кой за­ви­си­мо­сти $ω(\boldsymbol k)$. Го­раз­до про­ще рас­пад­ные ус­ло­вия вы­пол­ня­ют­ся, ес­ли в про­цесс П. н. во­вле­че­ны неск. вет­вей ко­ле­ба­ний. Это яв­ле­ние ис­сле­ду­ет­ся в фи­зи­ке плаз­мы, фи­зи­ке мик­ро­волн, не­ли­ней­ной оп­ти­ке и др.

П. н. волн ле­жат в ос­но­ве вы­ну­ж­ден­ных рас­сея­ний. Сю­да от­но­сит­ся па­ра­мет­ри­че­ское рас­сея­ние

све­та, при ко­тором про­ис­хо­дит уси­ле­ние кван­то­вых и те­п­ло­вых шу­мов и ха­рак­тер­ной осо­бен­но­стью ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся за­ви­си­мость час­то­ты рас­се­ян­но­го све­та от уг­ла рас­сея­ния (на­прав­ле­ния на­блю­де­ния). Это обу­слов­ле­но тем, что при на­кло­не вол­но­вых век­то­ров сиг­наль­ной и хо­ло­стой волн по­яв­ля­ет­ся фа­зо­вая рас­строй­ка, ко­то­рая ком­пен­си­ру­ет­ся пе­ре­строй­кой час­тот $ω_1$ и $ω_2$. Т. о., уг­лы, под ко­то­ры­ми про­ис­хо­дит рас­сея­ние фо­то­нов, за­ви­сят от дис­пер­си­он­ных свойств не­ли­ней­ной сре­ды – по­ка­за­те­лей пре­лом­ле­ния сиг­наль­ной и хо­ло­стой волн. Рас­се­ян­ный свет со­сто­ит из кор­ре­ли­ро­ван­ных по­пар­но фо­то­нов («би­фо­то­нов») и яв­ля­ет­ся «сжа­тым» (см. Сжа­тое со­стоя­ние

 >>

).

Другой при­мер – ком­би­на­ци­он­ное рас­сея­ние све­та

, при ко­то­ром роль хо­ло­стой вол­ны вы­пол­ня­ют мо­ле­ку­ляр­ные ко­ле­ба­ния. Из­лу­че­ние, рас­се­ян­ное с час­то­той, мень­шей, чем у па­даю­ще­го све­та, на­зы­ва­ет­ся сто­ксо­вым из­лу­че­ни­ем, а из­лу­че­ние с боль­шей час­то­той – ан­ти­сто­к­со­вым.

При боль­ших ам­пли­ту­дах на­кач­ки мо­жет воз­ник­нуть П. н. да­же в от­сут­ст­вие ре­зо­нан­са в слу­чае, ко­гда од­на из волн, об­ра­зую­щих­ся при рас­па­де, не су­ще­ст­ву­ет в сре­де в от­сут­ст­вие на­кач­ки. При­ме­ром ти­пич­ной не­ре­зо­нанс­ной П. н. яв­ля­ет­ся мо­ду­ля­ци­он­ная не­ус­той­чи­вость. К П. н. от­но­сят и взрыв­ную не­ус­той­чи­вость волн, воз­ни­каю­щую в сре­дах, где име­ют­ся вол­ны с от­ри­ца­тель­ной энер­гией. Важ­ную роль в па­ра­мет­рич. про­цес­сах в низ­ко­тем­пе­ра­тур­ной плаз­ме иг­ра­ет т. н. те­п­ло­вая па­ра­мет­рич. не­ус­той­чи­вость.

П. н. мо­жет раз­ви­вать­ся так­же в сре­де с ку­бич. не­ли­ней­но­стью при че­ты­рёх­вол­но­вом взаи­мо­дей­ст­вии в двух ва­ри­ан­тах. В пер­вом слу­чае ус­ло­вие рас­пад­ной не­ус­той­чи­во­сти вы­гля­дит как рас­пад кван­та на­кач­ки на 3 кван­та: $$ω_н=ω_1+ω_2+ω_3,\quad \boldsymbol k_н=\boldsymbol k_1+\boldsymbol k_2+\boldsymbol k_3.$$ Во вто­ром слу­чае 2 кван­та сли­ва­ют­ся, а за­тем рас­па­да­ют­ся на 2 др. кван­та: $$ω_н+ω_1=ω_2+ω_3,\quad \boldsymbol k_н+\boldsymbol k_1=\boldsymbol k_2+\boldsymbol k_3.\tag4$$

В вы­ро­ж­ден­ном слу­чае две час­то­ты мо­гут сов­па­дать, и про­цесс ста­но­вит­ся трёх­час­тот­ным, как в сре­де с квад­ра­тич­ной не­ли­ней­но­стью, толь­ко с двух­фо­тон­ной на­кач­кой. Од­на­ко в сре­де с ку­бич. не­ли­ней­но­стью все­гда при­сут­ст­ву­ет са­мо­воз­дей­ст­вие: в со­от­но­ше­ни­ях (4) все час­то­ты и вол­но­вые век­то­ры от­ве­ча­ют од­ной вол­не. Са­мо­воз­дей­ст­вие влия­ет на фа­зы волн и ме­ня­ет ха­рак­тер па­ра­мет­рич. не­ус­той­чи­во­сти.