ПАРАМЕТРИ́ЧЕСКИЙ РЕЗОНА́НС

ПАРАМЕТРИ́ЧЕСКИЙ РЕЗОНА́НС, яв­ле­ние рас­кач­ки ко­ле­ба­ний при пе­рио­дич. из­ме­не­нии па­ра­мет­ров тех эле­мен­тов ко­ле­ба­тель­ной сис­те­мы, в ко­то­рых со­сре­до­то­че­на энер­гия ко­ле­ба­ний (ре­ак­тив­ные или энер­го­ём­кие па­ра­мет­ры). П. р. воз­мо­жен в ко­ле­ба­тель­ных сис­те­мах разл. фи­зич. при­ро­ды. Напр., в элек­трич. ко­ле­ба­тель­ном кон­ту­ре ре­ак­тив­ны­ми па­ра­мет­ра­ми яв­ля­ют­ся ём­кость $C$ и ин­дук­тив­ность $L$, в ко­то­рых за­па­се­ны элек­трич. энер­гия $W_э=q^2/2C$ и маг­нит­ная энер­гия $W_м=LI^2/2$ (здесь $q$ – элек­трич. за­ряд на об­клад­ках кон­ден­са­то­ра, $I$ – ток в ка­туш­ке ин­дук­тив­но­сти). Собств. ко­ле­ба­ния в кон­ту­ре без по­терь с по­сто­ян­ны­ми $C$ и $L$ про­ис­хо­дят с час­то­той $ω_0=1/\sqrt{LC}$. При этом пол­ная энер­гия $W=W_э+W_м$, за­па­сён­ная в кон­ту­ре, ос­та­ёт­ся не­из­мен­ной; про­ис­хо­дит лишь её пе­рио­дич. транс­фор­ма­ция из элек­три­че­ской в маг­нит­ную и об­рат­но с час­то­той $2ω_0$. Из­ме­не­ние па­ра­мет­ров $C$ и $L$, со­про­во­ж­даю­щее­ся ра­бо­той внеш­них сил (на­кач­ка), при­во­дит к из­ме­не­нию пол­ной энер­гии сис­те­мы. Ес­ли из­ме­нять, напр., ём­кость $C$ пе­рио­ди­че­ски в такт из­ме­не­ни­ям $W_э$ (обу­слов­лен­ным собств. ко­ле­ба­ния­ми), умень­шая её в мо­мен­ты, ко­гда $q^2$ и $W_э$ мак­си­маль­ны, и уве­ли­чивая, ко­гда эти ве­ли­чи­ны рав­ны ну­лю (рис. 1), то в сред­нем за пе­ри­од над сис­те­мой со­вер­ша­ет­ся по­ло­жи­тель­ная ра­бо­та и, сле­до­ва­тель­но, пол­ная энер­гия и ам­пли­ту­да ко­ле­ба­ний бу­дут мо­но­тон­но на­рас­тать.

Рис. 1. Связь между изменениями со временем t ёмкости С конденсатора (а), заряда q на его обкладках (б) и напряжения U (в) при параметрическом резонансе в колебательном контуре.

П. р. наи­бо­лее эф­фек­тив­но про­яв­ля­ет­ся при из­ме­не­нии па­ра­мет­ров ко­ле­ба­тель­ной сис­те­мы с пе­рио­дом $T_н$, крат­ным по­лу­пе­рио­ду $T_0$ собств. ко­ле­ба­ний сис­те­мы: $$T_н≈nT_0/2,\quad ω_н=2ω_0/n,\qquad(1)$$ где $n$ – це­лое чис­ло, $ω_н=2π/T_н$ – час­то­та на­кач­ки.

Рис. 2. Области значений m, в которых возможен параметрический резонанс: ω0 – частота собственных колебаний; ωн – частота накачки (изменения параметра).

На­рас­та­ние ко­ле­ба­ний воз­мож­но не толь­ко при точ­ном вы­пол­не­нии со­от­но­ше­ний (1), но и в не­ко­то­рых ко­неч­ных ин­тер­ва­лах зна­че­ний $ω_н$ вбли­зи $2ω_0/n$ (в т. н. зо­нах не­ус­той­чи­во­сти, рис. 2). Ши­ри­на зон тем боль­ше, чем силь­нее из­ме­ня­ют­ся па­ра­мет­ры $C$ и $L$. Из­ме­не­ние па­ра­мет­ра, напр. ём­ко­сти $C$, ха­рак­те­ри­зу­ют ве­ли­чи­ной $$m=(C_{макс}-C_{мин})/(C_{макс}+C_{мин}),$$ на­зы­вае­мой глу­би­ной из­ме­не­ния па­ра­мет­ра.

П. р. при­во­дит к не­ус­той­чи­во­сти ко­ле­ба­тель­ной сис­те­мы, т. е. к на­рас­та­нию ма­лых на­чаль­ных воз­му­ще­ний, напр. не­из­беж­ных во вся­кой сис­те­ме флук­туа­ций, сре­ди ко­то­рых все­гда най­дёт­ся со­став­ляю­щая с под­хо­дя­щей фа­зой по от­но­ше­нию к фа­зе из­ме­не­ния па­ра­мет­ров. Ес­ли в сис­те­ме име­ют­ся по­те­ри (напр., в кон­ту­ре при­сут­ст­ву­ет со­про­тив­ле­ние $R$), то не­ус­той­чи­вость воз­ни­ка­ет толь­ко при до­ста­точ­но боль­ших из­ме­не­ни­ях $C$ или $L$, ко­гда па­ра­мет­рич. на­кач­ка энер­гии пре­вос­хо­дит по­те­ри. Зо­ны не­ус­той­чи­во­сти при этом со­от­вет­ст­вен­но умень­ша­ют­ся или да­же ис­че­за­ют со­всем (на рис. 2 эти зо­ны по­ка­за­ны тон­ки­ми ли­ния­ми). На­рас­та­ние ко­ле­ба­ний при П. р. не про­ис­хо­дит бес­пре­дель­но, а ог­ра­ни­чи­ва­ет­ся при дос­та­точ­но боль­ших ам­пли­ту­дах разл. не­ли­ней­ны­ми эф­фек­та­ми. Напр., за­ви­си­мость со­про­тив­ле­ния от то­ка в кон­ту­ре мо­жет при­во­дить к уве­ли­че­нию по­терь по ме­ре воз­рас­та­ния ам­пли­ту­ды ко­ле­ба­ний, а за­ви­си­мость ём­ко­сти от на­пря­же­ния на ней – к из­ме­не­нию пе­риода собств. ко­ле­ба­ний $T_0$ и в ре­зуль­та­те к уве­ли­че­нию рас­строй­ки ме­ж­ду зна­че­ния­ми $ω_н$ и $2ω_0/n$. Рав­но­ве­сие на­сту­па­ет, ко­гда па­ра­мет­рич. на­кач­ка энер­гии в сред­нем за пе­ри­од ком­пен­си­ру­ет­ся по­те­ря­ми.

При­мер ме­ха­нич. сис­те­мы, в ко­то­рой воз­мо­жен П. р., – ма­ят­ник в ви­де гру­за мас­сы $M$, под­ве­шен­но­го на ни­ти, дли­ну $l$ ко­то­рой мож­но из­ме­нять. Eсли умень­шать $l$ в ниж­нем и уве­ли­чи­вать в край­них по­ло­же­ни­ях, то ко­ле­ба­ния мо­гут рас­ка­чи­вать­ся. На П. р. ос­но­ва­но са­мо­рас­ка­чи­ва­ние на ка­че­лях, ко­гда эф­фек­тив­ная дли­на ма­ят­ни­ка пе­рио­ди­че­ски из­ме­ня­ет­ся при при­се­да­ни­ях и вста­ва­ни­ях ка­чаю­ще­го­ся. П. р. учи­ты­ва­ет­ся в не­бес­ной ме­ха­ни­ке при рас­чё­те воз­му­ще­ний пла­нет­ных ор­бит, вы­зван­ных влия­ни­ем др. пла­нет.

В ко­ле­ба­тель­ных сис­те­мах с не­сколь­ки­ми сте­пе­ня­ми сво­бо­ды (напр., в сис­те­ме из двух свя­зан­ных кон­ту­ров или ма­ят­ни­ков) воз­мож­ны собств. (нор­маль­ные) ко­ле­ба­ния (мо­ды) с разл. час­то­та­ми: $ω_1, ω_2,...$ Со­от­вет­ст­вен­но на­рас­та­ние ко­ле­ба­ний здесь воз­мож­но, напр., при из­ме­не­нии па­ра­мет­ра с сум­мар­ной час­то­той: $ω_н=ω_1+ω_2$.

В сис­те­мах с рас­пре­де­лён­ны­ми па­ра­мет­ра­ми (вол­но­вых сис­те­мах), об­ла­даю­щих бес­ко­неч­ным чис­лом сте­пе­ней сво­бо­ды, так­же воз­мож­но воз­бу­ж­де­ние нор­маль­ных ко­ле­ба­ний в ре­зуль­та­те П. р. Клас­сич. при­мер – опыт Мель­де (1859), в ко­то­ром на­блю­да­лось воз­бу­ж­де­ние по­пе­реч­ных ко­ле­ба­ний (стоя­чих волн) в стру­не, при­кре­п­лён­ной од­ним кон­цом к нож­ке ка­мер­то­на, ко­ле­ба­ния ко­то­ро­го пе­рио­ди­че­ски ме­ня­ют на­тя­же­ние стру­ны с час­то­той, вдвое боль­шей час­то­ты собств. по­пе­реч­ных ко­ле­ба­ний. Другой при­мер – опыт Фа­ра­дея (1831), в ко­то­ром вер­ти­каль­ные ко­ле­ба­ния со­су­да с во­дой при­во­дят к воз­бу­ж­де­нию стоя­чей по­верх­но­ст­ной вол­ны с уд­во­ен­ным пе­рио­дом.

П. р. в вол­но­вых сис­те­мах – это ре­зо­нанс не толь­ко во вре­ме­ни, но и в простран­ст­ве. Напр., ес­ли на­кач­ка, из­ме­няю­щая па­ра­мет­ры сре­ды, пред­став­ля­ет со­бой бе­гу­щую вол­ну с час­то­той $ω_н$ и вол­но­вым век­то­ром $\boldsymbol k_н$, то воз­бу­ж­де­ние па­ры нор­маль­ных волн с час­то­та­ми $ω_1$, $ω_2$ и вол­но­вы­ми век­то­ра­ми $\boldsymbol k_1$, $\boldsymbol k_2$ осу­ще­ст­в­ля­ет­ся, ес­ли вы­пол­ня­ют­ся ус­ло­вия: $$ω_н=ω_1+ω_2,\quad \boldsymbol k_н=\boldsymbol k_1+\boldsymbol k_2.\qquad(2)$$

На кван­то­вом язы­ке ус­ло­вия (2) оз­на­ча­ют, что при рас­па­де кван­та на­кач­ки на два др. кван­та со­хра­ня­ют­ся как энер­гия $\hbar ω$, так и им­пульс $\hbar \boldsymbol k$ ($\hbar$ – по­сто­ян­ная План­ка). На­рас­та­ние ам­пли­туд волн во вре­ме­ни и в про­стран­ст­ве (рас­пад­ная не­ус­той­чи­вость) так­же ог­ра­ни­чи­ва­ет­ся не­ли­ней­ны­ми эф­фек­та­ми: ес­ли зна­чит. часть энер­гии на­кач­ки из­рас­хо­до­ва­на на воз­бу­ж­де­ние волн, то воз­мо­жен об­рат­ный про­цесс – рост энер­гии на­кач­ки за счёт ос­лаб­ле­ния волн на час­то­тах $ω_1$, $ω_2$; в сре­де без по­терь та­кой об­мен энер­ги­ей про­ис­хо­дит пе­рио­ди­че­ски.

Па­ра­мет­рич. и не­ли­ней­ные ре­зо­нанс­ные взаи­мо­дей­ст­вия волн ха­рак­тер­ны, напр., для разл. ти­пов волн в плаз­ме, мощ­ных све­то­вых волн (см. Па­ра­мет­ри­че­ский ге­не­ра­тор све­та