ОПЕРА́ТОРЫ

ОПЕРА́ТОРЫ в кван­то­вой тео­рии, слу­жат для со­пос­тав­ле­ния од­ной оп­ре­де­лён­ной вол­но­вой функ­ции $\psi$ (или век­то­ру со­стоя­ний) др. оп­ре­де­лён­ных функ­ций $\psi'$ (век­то­ров). По­ня­тие О. ши­ро­ко ис­поль­зу­ет­ся в кван­то­вой ме­ха­ни­ке и кван­то­вой тео­рии по­ля. Со­от­но­ше­ние ме­ж­ду $\psi$ и $\psi'$ за­пи­сы­ва­ет­ся в ви­де $\psi'=\hat L \psi$, где $\hat L$ – опе­ра­тор. В кван­то­вой ме­ха­ни­ке физич. ве­ли­чи­нам $L$ (ко­ор­ди­на­те, им­пуль­су, энер­гии и др.) ста­вят­ся в со­от­вет­ст­вие О. (О. ко­ор­ди­на­ты, О. импуль­са, О. энер­гии и др.), дей­ст­вую­щие на вол­но­вую функ­цию (век­тор со­стоя­ния) $\psi$, т. е. на ве­ли­чи­ну, опи­сы­ваю­щую со­стоя­ние фи­зич. сис­те­мы. Про­стей­шие О., дей­ст­вую­щие на вол­но­вую функ­цию $\psi(x)$ ($x$ – ко­ор­ди­на­та час­ти­цы), – О. ум­но­же­ния (напр., О. ко­ор­ди­на­ты $\hat x$: $\hat x \psi=x \psi$) и О. диф­фе­рен­ци­ро­ва­ния (напр., О. им­пуль­са $\hat p$: $\hat p \psi=-i \hbar(\partial \psi/ \partial x)$, где $\hbar$ – по­сто­ян­ная План­ка). Ес­ли $\psi$ – век­тор, ком­по­нен­ты ко­то­ро­го мож­но пред­ста­вить в ви­де столб­ца чи­сел, то О. пред­став­ля­ет со­бой квад­рат­ную таб­ли­цу – мат­ри­цу.

В кван­то­вой ме­ха­ни­ке в осн. ис­поль­зу­ют­ся ли­ней­ные О., ко­то­рые об­ла­да­ют сле­дую­щим свой­ст­вом: ес­ли $\hat L \psi_1= \psi_1'$ и $\hat L\psi_2=\psi'_2$, то $$\hat L(c_1 \psi_1 +c_2 \psi_2)=c_1 \psi'_1 + c_2 \psi'_2,$$где $c_1$ и $c_2$ – лю­бые ком­плекс­ные чис­ла. Это свой­ст­во от­ра­жа­ет су­пер­по­зи­ции прин­цип – один из осн. прин­ци­пов кван­то­вой ме­ха­ни­ки.

Свой­ст­ва О. оп­ре­де­ля­ют­ся урав­не­ния­ми $\hat L \psi_n= \lambda_n \psi_n$, где $\lambda_n$ – чис­ла. Ре­ше­ния $\psi_n$ этих урав­не­ний на­зы­ва­ют­ся собств. функ­ция­ми (собств. век­то­ра­ми) опе­ра­то­ра $\hat L$. Собств. вол­но­вые функ­ции (собств. век­то­ры со­стоя­ния) опи­сы­ва­ют в кван­то­вой ме­ха­ни­ке та­кие со­стоя­ния, в ко­то­рых дан­ная фи­зич. ве­ли­чи­на $L$ име­ет оп­ре­де­лён­ное зна­че­ние $\lambda_n$. Чис­ла $\lambda_n$ на­зы­ва­ют­ся собств. зна­че­ния­ми О. , а их со­во­куп­ность – спек­тром опе­ра­то­ра. Спектр О. мо­жет быть не­пре­рыв­ным или дис­крет­ным; в пер­вом слу­чае урав­не­ние, оп­ре­де­ляю­щее $\psi_n$, име­ет ре­ше­ние при лю­бом зна­че­нии $\lambda_n$, во вто­ром – ре­ше­ния су­ще­ст­ву­ют толь­ко при оп­ре­де­лён­ных дис­крет­ных зна­че­ни­ях $\lambda_n$. Спектр О. мо­жет быть так­же сме­шан­ным: час­тич­но не­пре­рыв­ным, час­тич­но дис­крет­ным. Напр., О. ко­ор­ди­на­ты и им­пуль­са име­ют не­пре­рыв­ный спектр, О. энер­гии в за­ви­си­мо­сти от дей­ст­вую­щих в сис­те­ме сил – не­пре­рыв­ный, дис­крет­ный или сме­шан­ный спектр. Дис­крет­ные собств. зна­че­ния О. энер­гии (га­миль­то­ниа­на) на­зы­ва­ют­ся уров­ня­ми энер­гии.

Собств. функ­ции и собств. зна­че­ния О. фи­зич. ве­ли­чин долж­ны удов­ле­тво­рять оп­ре­де­лён­ным тре­бо­ва­ни­ям. Т. к. не­по­сред­ст­вен­но из­ме­ряе­мые фи­зич. ве­ли­чи­ны име­ют ве­ще­ст­вен­ные зна­че­ния, то со­от­вет­ст­вую­щие О. долж­ны иметь ве­ще­ст­вен­ные собств. зна­че­ния. По­сколь­ку в ре­зуль­та­те из­ме­ре­ния фи­зич. ве­ли­чи­ны в лю­бом со­стоя­нии $\psi$ долж­но по­лу­чать­ся од­но из собств. зна­че­ний этой ве­ли­чи­ны, не­об­хо­ди­мо, что­бы про­из­воль­ная вол­но­вая функ­ция (век­тор со­стоя­ния) мог­ла быть пред­став­ле­на в ви­де ли­ней­ной ком­би­на­ции собств. функ­ций (век­то­ров) $\psi_n$ О. этой фи­зич. ве­ли­чи­ны. Т. е. со­во­куп­ность собств. функ­ций (век­то­ров) долж­на пред­став­лять пол­ную сис­те­му. О., об­ла­даю­щие этим свой­ст­вом, на­зы­ва­ют­ся са­мо­со­пря­жён­ны­ми или эр­ми­то­вы­ми.

С О. мож­но про­из­во­дить ал­геб­ра­ич. дей­ст­вия. В ча­ст­но­сти, про­из­ве­де­ни­ем О. $\hat L_1$ и $\hat L_2$ яв­ля­ет­ся та­кой О. $\hat L=\hat L_1 \hat L_2$, дей­ст­вие ко­то­ро­го на $\psi$ да­ёт $\hat L \psi= \psi^n$, ес­ли $\hat L_2 \psi=\psi'$ и $\hat L_1 \psi'=\psi^n$. Про­из­ве­де­ние О. в об­щем слу­чае за­ви­сит от по­ряд­ка со­мно­жи­те­лей, т. е. $\hat L_1 \hat L_2 \neq \hat L_2 \hat L_1$. Этим ал­геб­ра О. от­ли­ча­ет­ся от обыч­ной ал­геб­ры чи­сел. Ра­вен­ст­во $\hat L_1 \hat L_2 = \hat L_2 \hat L_1$ вы­пол­ня­ет­ся, ес­ли есть воз­мож­ность од­но­вре­мен­но­го из­ме­ре­ния фи­зич. ве­ли­чин, ко­то­рым со­от­вет­ст­ву­ют эти опе­ра­то­ры.

Урав­не­ния кван­то­вой ме­ха­ни­ки мож­но фор­маль­но за­пи­сать, ес­ли за­ме­нить фи­зич. ве­ли­чи­ны, вхо­дя­щие в урав­не­ния клас­сич. фи­зи­ки, на со­от­вет­ст­вую­щие им О. То­гда раз­ли­чие ме­ж­ду кван­то­вой и клас­сич. ме­ха­ни­кой све­дёт­ся к раз­ли­чию ал­гебр.

О. мож­но воз­во­дить в сте­пень, об­ра­зо­вы­вать ря­ды, рас­смат­ри­вать функ­ции от О. В кван­то­вой ме­ха­ни­ке ис­поль­зу­ют­ся и не­эр­ми­то­вы О., напр. уни­тар­ные, ко­то­рые не ме­ня­ют норм (длин) век­то­ров и уг­лов ме­ж­ду ни­ми. Не­из­мен­ность норм век­то­ра со­стоя­ния да­ёт воз­мож­ность ин­тер­пре­та­ции его ком­по­нент как ам­пли­туд ве­ро­ят­но­сти и в ис­ход­ной, и в пре­об­ра­зо­ван­ной функ­ции. По­это­му уни­тар­ны­ми О. опи­сы­ва­ют­ся эво­лю­ция кван­то­во­ме­ха­нич. сис­те­мы во вре­ме­ни, её сме­ще­ние, по­во­рот, зер­каль­ное от­ра­же­ние и т. д.

В кван­то­вой ме­ха­ни­ке при­ме­ня­ют­ся так­же О. ком­плекс­но­го со­пря­же­ния, яв­ляю­щие­ся не­ли­ней­ны­ми. Про­из­ве­де­ние та­ко­го О. на уни­тар­ный да­ёт ан­ти­уни­тар­ный О., ко­то­рый опи­сы­ва­ет, напр., об­ра­ще­ние вре­ме­ни.

В тео­рии кван­то­вых сис­тем, со­стоя­щих из то­ж­де­ст­вен­ных час­тиц, ши­ро­ко при­ме­ня­ет­ся ме­тод вто­рич­но­го кван­то­ва­ния, в ко­то­ром рас­смат­ри­ва­ют­ся со­стоя­ния с не­оп­ре­де­лён­ным или пе­ре­мен­ным чис­лом час­тиц и вво­дят­ся О., дей­ст­вие ко­то­рых на век­тор со­стоя­ния с дан­ным чис­лом час­тиц при­во­дит к век­то­ру со­стоя­ния с из­ме­нён­ным на еди­ни­цу чис­лом час­тиц (О. ро­ж­де­ния и О. унич­то­же­ния). Та­кие О. об­ра­зу­ют кван­то­ван­ные по­ля, иг­раю­щие фун­дам. роль в ре­ля­ти­ви­ст­ских кван­то­вых тео­ри­ях (кван­то­вой элек­тро­ди­на­ми­ке, тео­рии эле­мен­тар­ных час­тиц).