ПАДЕ́НИЕ ТЕ́ЛА

ПАДЕ́НИЕ ТЕ́ЛА, дви­же­ние те­ла, вы­зван­ное гра­ви­та­ци­он­ным при­тя­же­ни­ем Зем­ли, без на­чаль­ной ско­ро­сти те­ла от­но­си­тель­но Зем­ли. Па­да­ют, напр., ка­мень со ска­лы, ка­п­ли до­ж­дя из об­ла­ка, ли­стья с де­ревь­ев. Про­тя­жён­ное те­ло мо­жет упасть из-за по­те­ри ус­той­чи­во­сти, про­дол­жая взаи­мо­дей­ст­во­вать с опо­рой в про­цес­се па­де­ния. Так, в част­но­сти, па­да­ет де­ре­во в ле­су, че­ло­век на скольз­кой до­ро­ге.

П. т. под дей­ст­ви­ем толь­ко си­лы тя­же­сти на­зы­ва­ет­ся сво­бод­ным па­де­ни­ем. На ру­бе­же 16–17 вв. Г. Га­ли­лей ус­та­но­вил, что при от­сут­ст­вии со­про­тив­ле­ния воз­ду­ха те­ла раз­ной мас­сы па­да­ют с оди­на­ко­вой вы­со­ты за од­но и то же вре­мя. Позд­нее И. Нью­тон до­ка­зал, что ус­ко­ре­ние, при­об­ре­тае­мое те­лом в гра­ви­тац. по­ле, не за­ви­сит от мас­сы те­ла.

Пре­неб­ре­гая вра­ще­ни­ем Зем­ли и её не­сфе­рич­но­стью, мож­но счи­тать, что центр тя­же­сти сво­бод­но па­даю­ще­го те­ла дви­жет­ся с ус­ко­ре­ни­ем сво­бод­но­го па­де­ния $\boldsymbol g$ по пря­мой, на­прав­лен­ной к цен­тру Зем­ли. При сво­бод­ном П. т. с вы­со­ты $h$, ма­лой по срав­не­нию с ра­диу­сом Зем­ли (напр., при па­де­нии со­суль­ки с кры­ши), мож­но пре­неб­речь за­ви­си­мо­стью $g$ от рас­стоя­ния до цен­тра Зем­ли и счи­тать дви­же­ние рав­но­ус­ко­рен­ным. Тогда вре­мя П. т. $t=\sqrt{2h/g_0}$, а ко­неч­ная ско­рость $v=\sqrt{2g_0 h}$, где $g_0$ – ус­ко­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния у по­верх­но­сти Зем­ли.

При рас­смот­ре­нии П. т. с боль­шой вы­со­ты не­об­хо­ди­мо учи­ты­вать, что си­ла гра­ви­тац. при­тя­же­ния об­рат­но про­пор­цио­наль­на квад­ра­ту рас­стоя­ния до цен­тра Зем­ли. Ус­ко­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния $g_r$ на рас­стоя­нии $r=R+h$ до цен­тра Зем­ли рав­но $g_r=g_0R^2/r^2$, где $R$ – ра­диус Зем­ли. Ско­рость, ко­то­рую при­об­ре­та­ет те­ло при па­де­нии с та­кой вы­соты, $v=\sqrt{2g_0Rh/(R+h)}$. В со­от­вет­ст­вии с этой фор­му­лой при вхо­де в плот­ные слои ат­мо­сфе­ры те­ло, па­даю­щее на Зем­лю с вы­со­ты $h=R$, бу­дет иметь ско­рость, близ­кую к пер­вой кос­мич. ско­рости $v_1=\sqrt{g_0R}≈7,9$ км/с, а при па­де­нии с вы­со­ты $h≫R$ – ко вто­рой кос­мич. ско­ро­сти $v_2=\sqrt{2g_0R}≈11,2$ км/с.

П. т. в воз­ду­хе оп­ре­де­ля­ет­ся не толь­ко гра­ви­тац. си­лой, но и си­лой со­про­тив­ле­ния воз­ду­ха, за­ви­ся­щей от плот­но­сти воз­ду­ха, ско­ро­сти дви­же­ния, фор­мы и раз­ме­ров те­ла. Напр., па­де­ние ка­пель до­ж­дя нель­зя счи­тать сво­бод­ным: си­ла со­про­тив­ле­ния воз­ду­ха ока­зы­ва­ет­ся зна­чи­тель­ной из-за боль­шой ско­ро­сти дви­же­ния ка­пель. Это при­во­дит к то­му, что у по­верх­но­сти Зем­ли до­ж­де­вые ка­п­ли па­да­ют прак­ти­че­ски с по­сто­ян­ной ско­ро­стью, за­ви­ся­щей от раз­ме­ров ка­пель и со­став­ляю­щей ок. 10 м/с.

Влия­ние вра­ще­ния Зем­ли (с уг­ло­вой ско­ро­стью $ω=0,0000729$ рад/с) при П. т. с ма­лых вы­сот $h$ обу­слов­ле­но тем, что те­ло, не­под­виж­ное от­но­си­тель­но по­верх­но­сти Зем­ли, со­вер­ша­ет вме­сте с Зем­лёй су­точ­ное вра­ще­ние, дви­га­ясь со ско­ро­стью $v=ω(R+h)\cos \varphi$ в плос­ко­сти, пер­пен­ди­ку­ляр­ной оси вра­ще­ния Зем­ли, по ок­руж­но­сти ра­диу­са $r=(R+h)\cos \varphi$, где $φ$ – гео­гра­фич. ши­ро­та мес­та. При сво­бод­ном па­де­нии та­кое те­ло ве­дёт се­бя по­доб­но спут­ни­ку Зем­ли, а опи­са­ние его дви­же­ния в не­инер­ци­аль­ной (вра­щаю­щей­ся вме­сте с Зем­лёй) сис­те­ме от­счё­та тре­бу­ет учё­та сил инер­ции. Цен­тро­беж­ная си­ла (од­на из со­став­ляю­щих пе­ре­нос­ной си­лы инер­ции) при­во­дит к не­боль­шо­му из­ме­не­нию ве­ли­чи­ны и на­прав­ле­ния век­то­ра $\boldsymbol g$: он от­кло­ня­ет­ся от на­прав­ле­ния к цен­тру Зем­ли в сто­ро­ну эк­ва­то­ра на угол $α≈(ω^2R/2g_0)\sin 2φ$; при этом его ве­ли­чи­на $g=g_0-ω^2R \cos^2 φ$ . Ко­рио­ли­са си­ла при­во­дит к до­пол­нит. от­кло­не­нию сво­бод­но па­даю­ще­го те­ла к вос­то­ку от вер­ти­ка­ли (т. е. от на­прав­ле­ния век­то­ра $\boldsymbol g$). Ве­ли­чи­на это­го от­кло­не­ния $S_{вост}$ в пер­вом при­бли­же­нии со­став­ля­ет: $$S_{вост}=(2/3)\omega\sqrt{2h/g_0}h\cos \varphi.$$ Этот эф­фект не­ве­лик, од­на­ко его уда­лось с уве­рен­но­стью на­блю­дать уже в сер. 19 в. в опы­тах с па­де­ни­ем тел в глу­бо­кие шах­ты. Для ши­ро­ты Мо­ск­вы при сво­бод­ном па­де­нии те­ла с вы­со­ты Ос­тан­кин­ской те­ле­ви­зи­он­ной баш­ни от­кло­не­ние к вос­то­ку со­став­ля­ет ок. 14 см.

Па­де­ние (оп­ро­ки­ды­ва­ние) про­тя­жён­но­го те­ла, на­хо­дя­ще­го­ся на опо­ре, про­ис­хо­дит, ес­ли вер­ти­каль­ная ли­ния, про­хо­дя­щая че­рез центр тя­же­сти те­ла, не пе­ре­се­ка­ет пло­щадь опо­ры. В этом слу­чае те­ло па­да­ет, по­во­ра­чи­ва­ясь во­круг сво­его ос­но­ва­ния. При та­ком П. т. ко­неч­ная ско­рость верх­ней час­ти про­тя­жён­но­го те­ла вы­со­той $h$ пре­вы­ша­ет ско­рость не­боль­шо­го те­ла, упав­ше­го с вы­со­ты $h$. Напр., при па­де­нии фаб­рич­ной тру­бы вы­со­той $h$ ко­неч­ная ско­рость, при­об­ре­тае­мая вер­ши­ной тру­бы, со­став­ля­ет $v=\sqrt{3gh}$. При­ме­ром рав­но­ве­сия те­ла на опо­ре мо­жет слу­жить «па­даю­щая» баш­ня в Пи­зе. Баш­ня име­ет фор­му ци­лин­д­ра вы­со­той 55 м и ра­диу­сом 7 м. У сво­ей вер­ши­ны баш­ня от­кло­не­на от вер­ти­ка­ли на 4,5 м, а ли­ния дей­ст­вия си­лы тя­же­сти про­хо­дит на рас­стоя­нии 2,3 м от цен­тра её ос­но­ва­ния. На­клон баш­ни по­сте­пен­но уве­ли­чи­ва­ет­ся. Рас­чё­ты по­ка­зы­ва­ют, что рав­но­ве­сие на­ру­шит­ся и баш­ня упа­дёт, ко­гда от­кло­не­ние её вер­ши­ны от вер­ти­ка­ли дос­тиг­нет 14 м.