НЕЛИНЕ́ЙНЫЕ СИСТЕ́МЫ

НЕЛИНЕ́ЙНЫЕ СИСТЕ́МЫ, ко­ле­ба­тель­ные и вол­но­вые сис­те­мы, в ко­то­рых не вы­пол­ня­ет­ся су­пер­по­зи­ции прин­цип. Н. с. мно­го­об­раз­ны, и клас­си­фи­ци­ро­вать их мож­но по-раз­но­му. Со­сре­до­то­чен­ные Н. с. – сис­те­мы с ко­неч­ным чис­лом сте­пе­ней сво­бо­ды – раз­де­ля­ют на кон­сер­ва­тив­ные и дис­си­па­тив­ные. Рас­пре­де­лён­ные Н. с. – сис­те­мы с бес­ко­неч­ным чис­лом сте­пе­ней сво­бо­ды – раз­ли­ча­ют­ся ви­дом дис­пер­сии и дис­си­па­ции.

Для кон­сер­ва­тив­ных сис­тем в фи­зи­ке вы­пол­ня­ет­ся за­кон со­хра­не­ния энер­гии, т. е. сум­ма ки­не­тич. и по­тен­ци­аль­ной энер­гий ос­та­ёт­ся по­сто­ян­ной. Про­стей­шим при­ме­ром кон­сер­ва­тив­ной Н. с. яв­ля­ет­ся не­ли­ней­ный ос­цил­ля­тор, опи­сы­ваю­щий ко­ле­ба­ния ма­те­ма­тич. ма­ят­ни­ка, из­ме­не­ние то­ка или на­пря­же­ния в ко­ле­бат. кон­ту­ре. Од­на­ко в сис­те­мах, опи­сы­ваю­щих, напр., хи­мич. ре­ак­цию или со­су­ще­ст­во­ва­ние двух био­ло­гич. ви­дов, час­то не­воз­мож­но да­же вве­сти по­ня­тие энер­гии. Ис­хо­дя из тео­рии ко­ле­ба­ний, при­зна­ком кон­сер­ва­тив­но­сти дву­мер­ной сис­те­мы сле­ду­ет счи­тать су­ще­ст­во­ва­ние не­ко­то­ро­го од­но­знач­но­го по­сто­ян­но­го ин­те­гра­ла дви­же­ния.

К дис­си­па­тив­ным от­но­сят та­кие Н. с., в ко­то­рых нель­зя пре­неб­речь про­цес­са­ми дис­си­па­ции энер­гии. К дис­си­па­тив­ным Н. с. от­но­сят и ав­то­ко­ле­ба­тель­ные сис­те­мы, ко­то­рые спо­соб­ны осу­ще­ст­в­лять са­мо­под­дер­жи­ваю­щее­ся дви­же­ние. Пе­ри­од и ам­пли­ту­да та­ко­го дви­же­ния оп­ре­де­ля­ют­ся па­ра­мет­ра­ми са­мой сис­те­мы и в оп­ре­де­лён­ных пре­де­лах не за­ви­сят от на­чаль­ных ус­ло­вий (ча­сы-хо­ди­ки, струн­ные муз. ин­ст­ру­мен­ты, ор­ган­ные тру­бы, ко­ле­бат. хи­мич. ре­ак­ции и др.).

Ес­ли в рас­пре­де­лён­ной Н. с., напр. в гид­ро­ди­на­ми­че­ской, рас­про­стра­ня­ет­ся си­ну­сои­даль­ная вол­на, то в от­сут­ст­вие дис­пер­сии и дис­си­па­ции не­ли­ней­ность при­во­дит к не­пре­рыв­но­му уве­ли­че­нию кру­тиз­ны про­фи­ля вол­ны и об­ра­зо­ва­нию раз­ры­ва – об­лас­ти бес­ко­неч­но бы­стро­го из­ме­не­ния па­ра­мет­ров вол­ны во вре­ме­ни и в про­стран­ст­ве. В сле­дую­щий мо­мент про­ис­хо­дит оп­ро­ки­ды­ва­ние вол­ны. Дис­си­па­ция при­во­дит к не­ко­то­ро­му рас­плы­ва­нию про­фи­ля вол­ны и в ко­неч­ном счё­те мо­жет урав­но­ве­сить не­ли­ней­ное уве­ли­че­ние кру­тиз­ны про­фи­ля. При этом раз­рыв при­бли­жён­но мож­но счи­тать ста­цио­нар­ным: он рас­про­стра­ня­ет­ся с по­сто­ян­ной ско­ро­стью, поч­ти не ме­няя фор­мы. Ро­ж­да­ет­ся ста­цио­нар­ная удар­ная вол­на.

Дис­пер­си­он­ное рас­плы­ва­ние, свя­зан­ное с за­ви­си­мо­стью фа­зо­вой ско­ро­сти от дли­ны вол­ны, так­же мо­жет ком­пен­си­ро­вать про­цесс оп­ро­ки­ды­ва­ния, и то­гда про­филь вол­ны ста­би­ли­зи­ру­ет­ся, не ме­ня­ет­ся со вре­ме­нем, об­ра­зу­ет­ся уе­ди­нён­ная вол­на – со­ли­тон.

В рас­пре­де­лён­ной ав­то­ко­ле­ба­тель­ной сис­те­ме в ре­зуль­та­те раз­ви­тия не­ус­той­чи­во­сти воз­мож­но ус­та­нов­ле­ние вол­но­вых или ко­ле­бательных дви­же­ний, па­ра­мет­ры ко­то­рых (ам­пли­ту­да и фор­ма ко­ле­ба­ний и волн, час­то­та, а в об­щем слу­чае спектр ко­ле­ба­ний) оп­ре­де­ля­ют­ся са­мой сис­те­мой и не за­ви­сят от ко­неч­но­го из­ме­не­ния на­чаль­ных ус­ло­вий. Клас­сич. при­ме­ры та­кой сис­те­мы – ла­зер и СВЧ-ге­не­ра­тор об­рат­ной вол­ны.

Гл. свой­ст­во слож­ной Н. с. со­сто­ит в том, что вся она в це­лом есть не­что боль­шее, не­же­ли про­стая со­во­куп­ность её час­тей, и это про­яв­ля­ет­ся в об­ра­зо­вании но­вых струк­тур, ко­то­рые ока­зы­ва­ют­ся ко­ге­рент­ны­ми во вре­ме­ни или про­стран­ст­ве. Об­ра­зую­щие­ся струк­ту­ры ха­рак­те­ри­зу­ют­ся оп­ре­де­лён­ны­ми вре­ме­на­ми су­ще­ст­во­ва­ния и взаи­мо­дей­ст­ву­ют друг с дру­гом. Эти струк­ту­ры по ана­ло­гии с ко­ле­ба­ния­ми под­раз­де­ля­ют на сво­бод­ные (вих­ри за вра­щаю­щим­ся вин­том, вих­ре­вые коль­ца при ис­те­че­нии га­за из со­пла, обыч­ные ды­мо­вые коль­ца), вы­нуж­ден­ные (кру­го­вые кон­век­тив­ные ячей­ки, соз­да­вае­мые кру­го­вой гра­ни­цей) и ав­то­струк­ту­ры – ло­ка­ли­зо­ван­ные про­стран­ст­вен­ные об­ра­зо­ва­ния, ус­той­чи­во су­ще­ст­вую­щие в дис­си­па­тив­ных не­рав­но­вес­ных сре­дах и не за­ви­ся­щие (в ко­неч­ных пре­де­лах) от гра­нич­ных и на­чаль­ных ус­ло­вий.

Ав­то­струк­ту­ры, в свою оче­редь, де­лят на ста­ти­че­ские, по­зво­ляю­щие объ­яс­нить, напр., пят­ни­стую ок­ра­ску жи­вот­ных; ста­цио­нар­ные (шес­ти­гран­ные приз­ма­тич. ячей­ки Бе­на­ра, воз­ни­каю­щие в по­дог­ре­том сни­зу слое жид­ко­сти); ди­на­ми­ческие, ре­гу­ляр­но или хао­ти­че­ски из­меняю­щие­ся во вре­ме­ни (сдви­го­вые те­че­ния в гид­ро­ди­на­ми­ке, элек­трон­ные по­то­ки в плаз­ме, ав­то­ка­та­ли­тич. хи­мич. ре­ак­ции в про­точ­ных сис­те­мах и др.). Наи­бо­лее эф­фект­ные при­ме­ры об­ра­зо­ва­ния струк­тур мож­но най­ти в био­ло­гии и био­фи­зи­ке. Ка­но­нич. при­мер – са­мо­ор­га­ни­за­ция в ан­самб­ле амё­бо­по­доб­ных кле­ток («со­ци­аль­ные амё­бы»), ко­то­рая за­кан­чи­ва­ет­ся аг­ре­га­ци­ей (по­яв­ля­ют­ся спо­ры, спо­соб­ные вы­жить в экс­тре­маль­ных ус­ло­ви­ях).

Чис­ло форм струк­тур, ро­ж­даю­щих­ся в про­цес­се са­мо­ор­га­ни­за­ции, очень ве­ли­ко: это уе­ди­нён­ные фрон­ты (вол­ны го­ре­ния и по­пу­ля­ций), им­пуль­сы (в нерв­ных во­лок­нах и ав­то­ка­та­ли­тич. ре­ак­ци­ях), ве­ду­щие цен­тры (кон­цен­трич. вол­ны) и ре­вер­бе­ра­то­ры – спи­раль­ные вол­ны (сер­деч­ная ткань, вол­ны де­прес­сии в тка­нях моз­га и сет­чат­ки гла­за и др.).

Су­ще­ст­ву­ет боль­шой класс ис­кус­ст­вен­ных Н. с., мо­де­ли­рую­щих ре­аль­ные си­сте­мы: ак­сио­ма­тич. мо­де­ли ак­тив­ной (воз­бу­ди­мой) сре­ды, не­ли­ней­ные ре­шёт­ки (се­ти), кле­точ­ные ав­то­ма­ты.

Воз­бу­ж­де­ние, напр. в нерв­ной клет­ке, мо­жет воз­ник­нуть ли­бо спон­тан­но, ли­бо под влия­ни­ем со­сед­ней воз­бу­ж­дён­ной клет­ки, ли­бо под внеш­ним воз­дей­ст­ви­ем (напр., под дей­ст­ви­ем элек­трич. то­ка). По­сле воз­бу­ж­де­ния клет­ка ос­та­ёт­ся не­ко­то­рое вре­мя в этом со­стоя­нии, а по­том пе­ре­хо­дит в со­стоя­ние реф­рак­тер­но­сти, в ко­то­ром клет­ка не реа­ги­ру­ет на к.-л. воз­дей­ст­вия. По­сле окон­ча­ния реф­рак­тер­но­го пе­рио­да клет­ка воз­вра­ща­ет­ся в со­стоя­ние по­коя и вновь го­то­ва к воз­бу­ж­де­нию. Ак­тив­ную сре­ду мож­но пред­ста­вить как сеть, со­стоя­щую из эле­мен­тов с та­ки­ми свой­ст­ва­ми, по ко­то­рой мо­гут рас­про­стра­нять­ся вол­ны воз­бу­ж­де­ния. В рам­ках этой мо­де­ли опи­сы­ва­ет­ся один из са­мых тя­жё­лых па­то­ло­гич. ре­жи­мов ра­бо­ты сер­деч­ной мыш­цы – фиб­рил­ля­ция, ко­гда вме­сто рит­мич. са­мо­со­гла­со­ван­ных со­кра­ще­ний сер­деч­ной мыш­цы воз­ни­ка­ют ли­шён­ные к.-л. пе­рио­дич­но­сти бес­по­ря­доч­ные ло­каль­ные воз­бу­ж­де­ния.

Не­ли­ней­ные ре­шёт­ки при­ме­ня­ют­ся для мо­де­ли­ро­ва­ния че­ло­ве­че­ско­го моз­га, пред­став­ляе­мо­го ан­самб­ля­ми ней­ро­нов, при­чём ан­самб­ли мо­гут фор­ми­ро­вать ан­самб­ли ан­самб­лей. По­доб­но то­му, как ан­самб­ли воз­ни­ка­ют из не­ли­ней­ных свойств отд. ней­ро­нов, ан­самб­ли ан­самб­лей воз­ни­ка­ют из не­ли­ней­ных ди­на­мич. свойств ан­самб­лей.

В кле­точ­ных ав­то­ма­тах про­стран­ст­во пред­став­ля­ет­ся рав­но­мер­ной сет­кой, каж­дая ячей­ка ко­то­рой (или клет­ка) со­дер­жит не­ко­то­рые дан­ные; вре­мя дис­крет­но, а за­ко­ны кле­точ­но­го ми­ра вы­ра­жа­ют­ся един­ст­вен­ным на­бо­ром пра­вил, напр. не­боль­шой спра­воч­ной таб­ли­цей, по ко­то­рой лю­бая клет­ка на ка­ж­дом ша­ге при­ни­ма­ет своё но­вое со­стоя­ние по со­стоя­ни­ям её близ­ких со­се­дей. С по­мощью кле­точ­ных ав­то­ма­тов ус­пеш­но ре­ша­ют­ся за­да­чи мо­де­ли­ро­ва­ния двух- и трёх­мер­ных гид­ро­ди­на­мич. по­то­ков, рас­про­стра­не­ния те­п­ло­вых по­то­ков, диф­фу­зи­он­ных про­цес­сов, опи­са­ния дви­же­ния тол­пы и др.

Раз­ра­бо­та­ны Н. с., со­от­вет­ст­вую­щие разл. не­ли­ней­ным ло­каль­ным и гло­баль­ным про­цес­сам в че­ло­ве­че­ском об­ще­ст­ве (мо­де­ли бое­вых дей­ст­вий, эпи­де­мии в че­ло­ве­че­ском об­ще­ст­ве, тео­рия рос­та на­се­ле­ния Зем­ли, гло­баль­ные про­бле­мы сель­ско­го хо­зяй­ст­ва и про­из-ва ре­сур­сов, взаи­мо­дей­ст­вие на­ро­да и пра­ви­тель­ст­ва, взаи­мо­дей­ст­вие ста­рой и но­вой от­рас­лей пром-сти) и в эко­но­ми­ке (про­цес­сы ус­та­нов­ле­ния це­ны, взаи­мо­дей­ст­вие про­дав­цов и по­ку­па­те­лей и др.).