МОДУЛЯ́ЦИЯ КОЛЕБА́НИЙ И ВОЛН

МОДУЛЯ́ЦИЯ КОЛЕБА́НИЙ И ВОЛН, из­ме­не­ние во вре­ме­ни па­ра­мет­ров ко­ле­ба­ний и волн. Су­ще­ст­ву­ет неск. ви­дов мо­ду­ля­ции: ам­пли­туд­ная (АМ), час­тот­ная (ЧМ) и фа­зо­вая (ФМ), ко­гда мед­лен­но ме­ня­ет­ся со­от­вет­ст­вен­но ам­пли­ту­да, час­то­та и фа­за ко­ле­ба­ний. Для оп­тич. волн ис­поль­зу­ет­ся так­же по­ля­ри­за­ци­он­ная мо­ду­ля­ция, ко­гда ме­ня­ет­ся по­ля­ри­за­ция из­лу­че­ния.

Мо­ду­ля­цию сиг­на­ла $f(t)$ мож­но пред­ста­вить в ви­де $$f(t)=A(t) \cos [ω_0t+φ(t)], \qquad(1)$$ где $t$ – вре­мя, $ω_0$ – по­сто­ян­ная «не­су­щая» час­то­та, на ко­то­рую на­кла­ды­ва­ет­ся низ­ко­час­тот­ный мо­ду­ли­рую­щий сиг­нал, $A$ – ам­пли­ту­да, $φ$ – фа­за ко­ле­ба­ний, ко­то­рые, как и час­то­та $ω=ω_0+dφ/dt$, мо­гут мед­лен­но (в мас­шта­бе пе­рио­да не­су­щей час­то­ты $T=2π/ω_0$) из­ме­нять­ся во вре­ме­ни. В спек­траль­ном пред­став­ле­нии вы­ра­же­ние (1) оп­ре­де­ля­ет ко­ле­ба­ние с уз­ким по срав­не­нию с не­су­щей час­то­той час­тот­ным спек­тром. В бо­лее об­щем слу­чае мо­ду­ли­ро­ван­ное ко­ле­ба­ние мож­но пред­ста­вить в ви­де $f(t)=A(t) \cos θ(t)$, где $θ$ – пол­ная фа­за, так что час­то­та $ω (t)=dθ /dt$ мо­жет ме­нять­ся мед­лен­но, но сколь угод­но силь­но; при этом спектр ко­ле­ба­ний мо­жет быть ши­ро­ким. Мо­ду­ли­рую­щие сиг­на­лы мо­гут иметь слож­ную фор­му, напр. со­сто­ять из за­ко­ди­ро­ван­ных по­сле­до­ва­тель­но­стей им­пуль­сов (см. Им­пульс­ная мо­ду­ля­ция

).

Спо­со­бы М. к. и в. и мо­ду­ли­рую­щие уст­рой­ст­ва – мо­ду­ля­то­ры

 – столь же раз­но­об­раз­ны, как и уст­рой­ст­ва, в ко­торых они при­ме­ня­ют­ся. Напр., в ге­не­ра­то­ре ра­дио­пе­ре­дат­чи­ка управ­ляю­щий сиг­нал мо­ду­ли­ру­ет на зву­ко­вых час­то­тах ам­пли­ту­ду или час­то­ту не­су­ще­го ко­ле­ба­ния (рис. 1), ко­то­рое из­лу­ча­ет­ся ан­тен­ной как ра­дио­вол­на. B при­ём­ни­ке вы­со­ко­час­тот­ное не­су­щее ко­ле­ба­ние уда­ля­ет­ся по­сред­ст­вом де­тек­ти­ро­ва­ния, a моду­ли­рую­щий зву­ко­вой сиг­нал по­да­ёт­ся на гром­ко­го­во­ри­тель. В те­ле­ви­де­нии ис­поль­зу­ют­ся слож­ные ши­ро­ко­по­лос­ные сиг­на­лы со­вме­ст­но с оп­тич. пре­об­ра­зо­ва­те­ля­ми. Для мо­ду­ля­ции све­та

 >>

в ла­зе­рах час­то ис­поль­зу­ют эф­фек­ты, при­во­дя­щие к из­ме­не­нию по­ка­за­те­ля пре­лом­ле­ния ма­те­риа­ла под дей­ст­ви­ем внеш­не­го по­ля, напр. эф­фект Кер­ра.

Для мо­ду­ли­ро­ван­ных волн, ам­пли­ту­да и фа­за ко­то­рых ме­ня­ют­ся не толь­ко во вре­ме­ни, но и в про­стран­ст­ве, вме­сто фор­му­лы (1) име­ем: $$f(t, \boldsymbol {r})=A(t,\boldsymbol {r}) \cos [ω_0t-\boldsymbol {k}_0\boldsymbol {r}+φ(t,\boldsymbol {r})] \; \text {или} \; f(t,\boldsymbol {r})=A(t,\boldsymbol {r}) \cos θ(t,\boldsymbol {r}), \qquad (2)$$ где $\boldsymbol {r}$ – ра­ди­ус-век­тор точ­ки в про­стран­ст­ве. Та­кая вол­на име­ет как вре­мен­ной $T$, так и про­стран­ст­вен­ный пе­ри­од $Λ=2π /|\boldsymbol {k}|$, где $\boldsymbol {k}$ – вол­но­вой век­тор.

Мо­ду­ля­ция вол­ны мо­жет быть вы­зва­на разл. при­чи­на­ми, напр. ва­риа­ция­ми на­чаль­ных ус­ло­вий во времени, гра­нич­ных ус­ло­вий в пространстве или мед­лен­ны­ми из­ме­не­ния­ми па­ра­мет­ров сре­ды во вре­ме­ни и про­стран­ст­ве.

Ти­пич­ный при­мер мо­ду­ли­ро­ван­ной вол­ны – вол­но­вой па­кет (рис. 2), рас­про­стра­няю­щий­ся с груп­по­вой ско­ро­стью $c_r=dω /dk$; она мо­жет от­ли­чать­ся от фа­зо­вой ско­ро­сти $c_{\text ф}=ω_0/k_0$, с ко­то­рой пере­ме­ща­ют­ся мак­си­му­мы и ми­ни­му­мы про­стран­ст­вен­ных ос­цил­ля­ций. За­ви­си­мость $ω(k)$, на­зы­вае­мая дис­пер­си­ей волн, оп­ре­де­ля­ет­ся свой­ст­ва­ми сре­ды. Груп­по­вая и фа­зо­вая ско­ро­сти рав­ны толь­ко в не­дис­пер­ги­рую­щих сре­дах; напр., ра­дио­вол­ны и звук рас­про­стра­ня­ют­ся в воз­ду­хе поч­ти без дис­пер­сии, а вол­ны на по­верх­но­сти глу­бо­кой жид­ко­сти силь­но дис­пер­ги­ру­ют: их груп­по­вая ско­рость вдвое мень­ше фа­зо­вой. Ес­ли вол­но­вой па­кет рас­про­стра­ня­ет­ся в дис­пер­ги­рую­щей сре­де дос­та­точ­но дол­го, он по­сте­пен­но рас­плы­ва­ет­ся, в ито­ге пре­вра­ща­ясь в час­тот­но-мо­ду­ли­ро­ван­ную вол­ну, в ко­то­рой ка­ж­дая груп­па (цуг) дви­жет­ся со сво­ей груп­по­вой ско­ро­стью, оп­ре­де­ляе­мой со­от­вет­ст­вую­щей ло­каль­ной час­то­той.

В не­ли­ней­ных сре­дах с дис­пер­си­ей эво­лю­ция вол­ны оп­ре­де­ля­ет­ся «кон­ку­рен­ци­ей» ме­ж­ду дис­пер­си­ей, ко­то­рая обыч­но при­во­дит к рас­плы­ва­нию па­ке­та, и не­ли­ней­но­стью, спо­соб­ной обо­ст­рять вол­но­вой фронт. Эво­лю­ция та­ких волн мо­жет раз­ви­вать­ся по разл. сце­на­ри­ям. Один из них – воз­ник­но­ве­ние мо­ду­ля­ци­он­ной не­ус­той­чи­во­сти

в пер­во­на­чаль­но не­мо­ду­ли­ро­ван­ной, си­ну­сои­даль­ной вол­не, в ко­то­рой ма­лые воз­му­ще­ния её ам­пли­ту­ды и фа­зы на­рас­та­ют и фор­ми­ру­ет­ся силь­но мо­ду­ли­ро­ван­ная вол­на. В др. слу­чае мо­ду­ля­ция не рас­тёт, но обо­ст­ря­ет­ся про­филь мо­ду­ли­рую­ще­го воз­му­ще­ния (оги­баю­щей). В обо­их слу­ча­ях воз­мож­но фор­ми­ро­ва­ние волн с не­из­мен­ным про­фи­лем мо­ду­ля­ции (ста­цио­нар­ные вол­ны оги­баю­щих), в т. ч. уе­ди­нён­ных вол­но­вых па­ке­тов (со­ли­то­нов оги­баю­щей) и пе­ре­па­дов ин­тен­сив­но­сти (удар­ных волн оги­баю­щей). В не­ли­ней­ной оп­ти­ке из­вест­ны «свет­лые» и «тём­ные» со­ли­то­ны, ко­то­рые при­ме­ня­ют­ся для пе­ре­да­чи сиг­на­лов в оп­тич. во­лок­нах.

По­ня­тие мо­ду­ля­ции мож­но ис­поль­зо­вать и для не­гар­мо­ни­че­ских силь­но не­ли­ней­ных ко­ле­ба­ний и волн, па­ра­мет­ры ко­то­рых (пе­ри­од, ам­пли­ту­да) мед­лен­но из­ме­ня­ют­ся во вре­ме­ни и про­стран­ст­ве. При этом не­мо­ду­ли­ро­ван­ная вол­на име­ет вид $F(ωt-kx, Q)$, где $F$ – пе­рио­дич. функ­ция, $Q$ – один или неск. па­ра­мет­ров, ха­рак­те­ри­зую­щих вол­ну, напр. её ам­пли­ту­да или пе­ри­од. Мо­ду­ли­ро­ван­ная вол­на та­ко­го ти­па име­ет вид $F[θ(x, t), Q(x, t)]$. С не­ко­то­рой до­лей ус­лов­но­сти мож­но го­во­рить о мо­ду­ля­ции уе­ди­нён­ной не­ли­ней­ной вол­ны в ви­де бе­гу­ще­го им­пуль­са – со­ли­то­на, ес­ли его па­ра­мет­ры (ам­пли­ту­да и дли­на) мед­лен­но из­ме­ня­ют­ся по ме­ре рас­про­стра­не­ния.

Ма­те­ма­тич. опи­са­ние мо­ду­ли­ро­ван­ных ко­ле­ба­ний и волн ос­но­ва­но на асим­пто­тич. ме­то­дах тео­рии воз­му­ще­ний, ко­то­рая при­ме­ня­ет­ся к диф­фе­рен­ци­аль­ным (или бо­лее об­щим) урав­не­ни­ям, со­дер­жа­щим к.-л. ма­лый па­ра­метр. Хо­тя та­кие ме­то­ды мо­гут быть раз­лич­ны­ми, прак­ти­че­ски во всех слу­ча­ях за­кон мо­ду­ля­ции на­хо­дит­ся из ус­ло­вия, что по­прав­ки к не­му ос­та­ют­ся ма­лы­ми (не­ре­зо­нанс­ны­ми) на дос­та­точ­но про­тя­жён­ных ин­тер­ва­лах вре­ме­ни и про­стран­ст­ва.