ХАРАКТЕРИСТИ́ЧЕСКОЕ УРАВНЕ́НИЕ

ХАРАКТЕРИСТИ́ЧЕСКОЕ УРАВНЕ́НИЕ, ал­геб­ра­ич. урав­не­ние $$\begin{vmatrix} a_{11}-λ & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}-λ & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}-λ \\ \end{vmatrix}=0;\tag{*}$$ оп­ре­де­ли­тель в ле­вой час­ти Х. у. по­лу­ча­ет­ся из оп­ре­де­ли­те­ля квад­рат­ной мат­ри­цы

 $A=||a_{ij}||^n_1$ вы­чи­та­ни­ем ве­ли­чи­ны $λ$ из диа­го­наль­ных эле­мен­тов. Этот оп­ре­де­ли­тель яв­ля­ет­ся мно­го­чле­ном по­ряд­ка $n$ от­но­си­тель­но ве­ли­чи­ны $λ$, ко­то­рый на­зы­ва­ет­ся ха­рак­те­ри­сти­че­ским мно­го­чле­ном мат­ри­цы $A$. Х. у. мож­но за­пи­сать в ви­де $$(–λ)^n+S_1(–λ)^{n–1}+S_2(–λ)^{n–2}+ ...+S_n=0,$$ где $S_1=a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}$ – т. н. след мат­ри­цы $A$, $S_2$ – сум­ма всех гл. ми­но­ров 2-го по­ряд­ка, т. е. оп­ре­де­ли­те­лей ви­да$\begin{vmatrix} a_{ii} & a_{ik} \\ a{ki} & a_{kk}\\ \end{vmatrix}$, $i < k$, и т. д., а $S_n$ – оп­ре­де­ли­тель мат­ри­цы $A$. Кор­ни Х. у. $λ_1$,$λ_2$,$...$,$λ_n$ на­зы­ва­ют­ся соб­ст­вен­ны­ми чис­ла­ми или соб­ст­вен­ны­ми зна­че­ния­ми мат­ри­цы $A$, они иг­ра­ют важ­ную роль при изу­че­нии мат­риц и ли­ней­ных пре­об­ра­зо­ва­ний

 >>

. У дей­ст­ви­тель­ной сим­мет­рич­ной мат­ри­цы, а так­же у эр­ми­то­вой мат­ри­цы все чис­ла $λ_k$ дей­ст­ви­тель­ны, у дей­ст­ви­тель­ной косо­сим­мет­рич­ной мат­ри­цы все чис­ла $λ_k$ чис­то мни­мые, для дей­ст­ви­тель­ной ор­то­го­наль­ной мат­ри­цы, а так­же для уни­тар­ной мат­ри­цы все чис­ла $∣λ_k∣ =1$.

Х. у. встре­ча­ют­ся в са­мых раз­но­об­раз­ных об­лас­тях ма­те­ма­ти­ки, ме­ха­ни­ки, фи­зи­ки, тех­ни­ки. В ас­тро­но­мии при оп­ре­де­ле­нии ве­ко­вых воз­му­ще­ний пла­нет так­же при­хо­дят к Х. у., от­ку­да и вто­рое на­зва­ние для Х. у. – ве­ко­вое урав­не­ние.

Х. у. ли­ней­но­го диф­фе­рен­ци­аль­но­го урав­не­ния с по­сто­ян­ны­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми $$a_0y^{(n)}+a_1y^{(n–1)}+...+a_{n–1}y'+a_ny=0$$ – ал­геб­ра­ич. урав­не­ние, ко­то­рое по­лу­ча­ет­ся из дан­но­го диф­фе­рен­ци­аль­но­го урав­не­ния по­сле за­ме­ны функ­ции $y$ и её про­из­вод­ных со­от­вет­ст­вую­щи­ми сте­пе­ня­ми ве­ли­чи­ны $λ$, т. е. урав­не­ние $$a_0λ^n+a_1λ^{n–1}+...+a_{n–1}λ+a_n=0.$$ К это­му урав­не­нию при­хо­дят при оты­ска­нии ча­ст­ных ре­ше­ний ви­да $y=ce^{λx}$ для дан­но­го диф­фе­рен­ци­аль­но­го урав­не­ния.

Для сис­те­мы ли­ней­ных диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний $$\frac{dy_i}{dx}=\sum_{j=1}^n a_{ij}y_i,\quad i=1,2,...,n,$$ Х. у. за­пи­сы­ва­ет­ся в том же ви­де, что (*), и сов­па­да­ет с Х. у. мат­ри­цы $A=||a_{ij}||^n_1$, со­став­лен­ной из ко­эф­фи­ци­ен­тов урав­не­ний дан­ной сис­те­мы.