ХАРАКТЕРИСТИ́ЧЕСКОЕ УРАВНЕ́НИЕ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ХАРАКТЕРИСТИ́ЧЕСКОЕ УРАВНЕ́НИЕ, алгебраич. уравнение $$\begin{vmatrix} a_{11}-λ & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}-λ & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}-λ \\ \end{vmatrix}=0;\tag{*}$$ определитель в левой части Х. у. получается из определителя квадратной матрицы $A=||a_{ij}||^n_1$ вычитанием величины $λ$ из диагональных элементов. Этот определитель является многочленом порядка $n$ относительно величины $λ$, который называется характеристическим многочленом матрицы $A$. Х. у. можно записать в виде $$(–λ)^n+S_1(–λ)^{n–1}+S_2(–λ)^{n–2}+ ...+S_n=0,$$где $S_1=a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}$ – т. н. след матрицы $A$, $S_2$ – сумма всех гл. миноров 2-го порядка, т. е. определителей вида$\begin{vmatrix} a_{ii} & a_{ik} \\ a{ki} & a_{kk}\\ \end{vmatrix}$, $i < k$, и т. д., а $S_n$ – определитель матрицы $A$. Корни Х. у. $λ_1$,$λ_2$,$...$,$λ_n$ называются собственными числами или собственными значениями матрицы $A$, они играют важную роль при изучении матриц и линейных преобразований. У действительной симметричной матрицы, а также у эрмитовой матрицы все числа $λ_k$ действительны, у действительной кососимметричной матрицы все числа $λ_k$ чисто мнимые, для действительной ортогональной матрицы, а также для унитарной матрицы все числа $∣λ_k∣ =1$.
Х. у. встречаются в самых разнообразных областях математики, механики, физики, техники. В астрономии при определении вековых возмущений планет также приходят к Х. у., откуда и второе название для Х. у. – вековое уравнение.
Х. у. линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами$$a_0y^{(n)}+a_1y^{(n–1)}+...+a_{n–1}y'+a_ny=0$$– алгебраич. уравнение, которое получается из данного дифференциального уравнения после замены функции $y$ и её производных соответствующими степенями величины $λ$, т. е. уравнение$$a_0λ^n+a_1λ^{n–1}+...+a_{n–1}λ+a_n=0.$$К этому уравнению приходят при отыскании частных решений вида $y=ce^{λx}$ для данного дифференциального уравнения.
Для системы линейных дифференциальных уравнений$$\frac{dy_i}{dx}=\sum_{j=1}^n a_{ij}y_i,\quad i=1,2,...,n,$$Х. у. записывается в том же виде, что (*), и совпадает с Х. у. матрицы $A=||a_{ij}||^n_1$, составленной из коэффициентов уравнений данной системы.