СФЕРИ́ЧЕСКИЕ ФУ́НКЦИИ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
Книжная версия:
Электронная версия:
СФЕРИ́ЧЕСКИЕ ФУ́НКЦИИ, специальные функции, применяемые для изучения физических явлений в пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями, и для решения физических задач, обладающих сферической симметрией. С. ф. являются решениями дифференциального уравнения\left[ \frac{\partial^2}{\partial θ} +\text{ctg} \frac{\partial}{\partial θ} + \frac{1}{\sin^2 θ} \frac{\partial^2}{\partial φ^2} +l(l+1\right] Y(θ,φ) =0,получающегося при разделении переменных в Лапласа уравнении в сферич. координатах r, θ, φ. Общий вид решенияY_l(θ,φ)=\sum_{m=-l}^l a_m Y_l^m(θ,φ) \equiv \sum_{m=-l}^l a_mP_m^l(\cos φ)e^{imφ},где a_m – постоянные, а P_lm(\cos q) – присоединённые функции Лежандра степени l и порядка m, определяемые равенством P_l^m(x)=(1-x^2)^{m/2}\frac{d^mP_l}{dx^m} где P_l – Лежандра многочлены.
Характерным примером многочисл. приложений С. ф. к вопросам математич. физики и механики является их применение в теории потенциала. Пусть σ=σ (θ,φ) – поверхностная плотность распределения массы по сфере радиуса R с центром в начале координат; если σ можно разложить в ряд С. ф. \sum_{n=0}^{\infty} Y_n(θ,φ), сходящийся равномерно на поверхности сферы, то потенциал, соответствующий этому распределению масс в каждой точке (r, θ, φ), внешней относительно данной сферы, равен \sum_{n=0}^{\infty} \frac{4\pi}{2n+1}\frac{R^{n+2}}{r^{n+1}}Y_n(θ,φ),а в каждой точке, внутренней по отношению к сфере, равен \sum_{n=0}^{\infty}\frac{4\pi}{2n+1}\frac{r^n}{R^{n-1}}Y_n(θ,φ).
Общие члены этих рядов являются шаровыми функциями степеней n-1 и n соответственно.
С. ф. были введены А. Лежандром и П. Лапласом в кон. 18 в.