СФЕРИ́ЧЕСКИЕ ФУ́НКЦИИ

СФЕРИ́ЧЕСКИЕ ФУ́НКЦИИ, спе­ци­аль­ные функ­ции, при­ме­няе­мые для изу­че­ния фи­зи­че­ских яв­ле­ний в про­стран­ст­вен­ных об­лас­тях, ог­ра­ни­чен­ных сфе­ри­че­ски­ми по­верх­но­стя­ми, и для ре­ше­ния фи­зи­че­ских за­дач, об­ла­даю­щих сфе­ри­че­ской сим­мет­ри­ей. С. ф. яв­ля­ют­ся ре­ше­ния­ми диф­фе­рен­ци­аль­но­го урав­не­ния$$\left[ \frac{\partial^2}{\partial θ} +\text{ctg} \frac{\partial}{\partial θ} + \frac{1}{\sin^2 θ} \frac{\partial^2}{\partial φ^2} +l(l+1\right] Y(θ,φ) =0,$$по­лу­чаю­ще­го­ся при раз­де­ле­нии пе­ре­мен­ных в Ла­п­ла­са урав­не­нии в сфе­рич. ко­ор­ди­на­тах $r$, $θ$, $φ$. Об­щий вид ре­ше­ния$$Y_l(θ,φ)=\sum_{m=-l}^l a_m Y_l^m(θ,φ) \equiv \sum_{m=-l}^l a_mP_m^l(\cos φ)e^{imφ},$$где $a_m$ – по­сто­ян­ные, а $P_lm(\cos q)$ – присое­ди­нён­ные функ­ции Ле­жан­д­ра сте­пе­ни $l$ и по­ряд­ка $m$, оп­ре­де­ляе­мые ра­вен­ст­вом $$P_l^m(x)=(1-x^2)^{m/2}\frac{d^mP_l}{dx^m}$$ где $P_l$ – Ле­жан­д­ра мно­го­чле­ны.

Ха­рак­тер­ным при­ме­ром мно­го­числ. при­ло­же­ний С. ф. к во­про­сам ма­те­ма­тич. фи­зи­ки и ме­ха­ни­ки яв­ля­ет­ся их при­ме­не­ние в тео­рии по­тен­циа­ла. Пусть $σ=σ (θ,φ)$ – по­верх­но­ст­ная плот­ность рас­пре­де­ле­ния мас­сы по сфе­ре ра­диу­са $R$ с цен­тром в на­ча­ле ко­ор­ди­нат; ес­ли $σ$ мо­ж­но раз­ло­жить в ряд С. ф. $\sum_{n=0}^{\infty} Y_n(θ,φ)$, схо­дя­щий­ся рав­но­мер­но на по­верх­но­сти сфе­ры, то по­тен­ци­ал, со­от­вет­ст­вую­щий это­му рас­пре­де­ле­нию масс в ка­ж­дой точ­ке ($r$, $θ$, $φ$), внеш­ней от­но­си­тель­но дан­ной сфе­ры, ра­вен $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{4\pi}{2n+1}\frac{R^{n+2}}{r^{n+1}}Y_n(θ,φ),$$а в ка­ж­дой точ­ке, внут­рен­ней по от­но­ше­нию к сфе­ре, ра­вен $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4\pi}{2n+1}\frac{r^n}{R^{n-1}}Y_n(θ,φ).$$

Об­щие чле­ны этих ря­дов яв­ля­ют­ся ша­ро­вы­ми функ­ция­ми сте­пе­ней $n-1$ и $n$ со­от­вет­ст­вен­но.

С. ф. бы­ли вве­де­ны А. Ле­жан­дром и П. Ла­п­ла­сом в кон. 18 в.