СТАТИСТИ́ЧЕСКИЙ АНА́ЛИЗ СЛУЧА́ЙНЫХ ПРОЦЕ́ССОВ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
СТАТИСТИ́ЧЕСКИЙ АНА́ЛИЗ СЛУЧА́ЙНЫХ ПРОЦЕ́ССОВ, раздел математической статистики, посвящённый методам обработки и использования статистич. данных, относящихся к случайным процессам. Значение $x(t)$ случайного процесса $X(t)$, получаемое в ходе одного испытания, называется реализацией (иначе – выборочной функцией или траекторией) процесса $X(t)$. Данные о $X(t)$, используемые при статистич. анализе этого процесса, обычно представляют собой сведения о значениях одной или нескольких реализаций $x(t)$ в течение определённого промежутка времени или же о значениях к.-л. величин, связанных с процессом $X(t)$ [напр., о значениях реализаций процесса $Y(t)$, являющегося суммой $X(t)$ и некоторого шума $N(t)$, созданного внешними помехами].
Весьма важным для приложений классом задач С. а. с. п. являются задачи обнаружения сигнала на фоне шума, играющие большую роль в радиолокации. С математич. точки зрения эти задачи сводятся к проверке статистич. гипотез: здесь по наблюдённым значениям некоторой функции требуется заключить, справедлива ли гипотеза о том, что эта функция – реализация суммы шума $N(t)$ и интересующего наблюдателя сигнала $X(t)$, или же справедлива гипотеза о том, что она – реализация лишь шума $N(t)$. В случаях, когда форма сигнала $X(t)$ не является полностью известной, задачи обнаружения часто включают в себя задачи статистич. оценки неизвестных параметров сигнала; так, напр., в задачах радиолокации очень важна задача об оценке времени появления сигнала, определяющего расстояние до объекта, породившего этот сигнал.
Задачи статистич. оценки параметров возникают и тогда, когда по данным наблюдений за значениями процесса $X(t)$ в течение определённого промежутка времени требуется оценить значения к.-л. параметров распределения вероятностей случайных величин $X(t)$ или же, напр., оценить значение в момент времени $t=t_1$ самого процесса $X(t)$ в случае, когда $t_1$ лежит за пределами интервала наблюдений за этим процессом.
Ряд задач С. а. с. п. относится к задачам, связанным с непараметрич. методами статистики; в частности, когда по наблюдениям за течением процесса $X(t)$ требуется оценить некоторые функции, характеризующие распределения вероятностей значений этого процесса [напр., плотность вероятности величины $X(t)$ или корреляционную функцию $\mathsf{E}X(t)X(s)$ процесса $X(t)$, или, в случае стационарного случайного процесса $X(t)$, его спектральную плотность $f(λ)$].
При решении задач С. а. с. п. всегда необходимо использовать те или иные спец. предположения о структуре процесса $X(t)$, т. е. ограничить класс рассматриваемых случайных процессов. Часто предполагается, что процесс $X(t)$ – стационарный случайный процесс, в этом случае, зная значение единственной реализации $x(t)$ на конечном промежутке времени $0 ⩽ t ⩽ T$, можно получить ряд статистич. выводов о вероятностных характеристиках процесса $X(t)$. В частности, среднее значение$$\overline x_T=\frac{1}{T}\int_0^{T}x(t)dt$$в случае стационарного случайного процесса $X(t)$ является состоятельной оценкой математич. ожидания $\mathsf{E}X(t)=m$; аналогично этому выборочная корреляционная функция$$B_T^*=\frac{1}{T-τ}\int_0^{T-τ}x(t)x(t+τ)dt,$$где $τ > 0$, при широких условиях является состоятельной оценкой корреляционной функции $\mathsf{E}X(t)X(t+τ)=B(τ)$. Однако преобразование Фурье функции $B_T^*$ – т. н. периодограмма $I_T(λ)$ процесса $X(t)$, уже не даёт состоятельной оценки спектральной плотности $f(λ)$, являющейся преобразованием Фурье функции $B(τ)$; при больших значениях $T$ периодограмма $I_T(λ)$ ведёт себя крайне нерегулярно и при $T→∞$ она не стремится ни к какому пределу. Поэтому С. а. с. п. включает в себя ряд спец. приёмов построения состоят. оценок спектральной плотности $f(λ)$ по наблюдённым значениям одной реализации стационарного процесса $X(t)$, большинство из которых основано на использовании сглаживания периодограммы.
См. также Случайных процессов прогнозирование, Случайных процессов фильтрация.