СИНГУЛЯ́РНОЕ РАСПРЕДЕЛЕ́НИЕ

СИНГУЛЯ́РНОЕ РАСПРЕДЕЛЕ́НИЕ, рас­пре­де­ле­ние ве­ро­ят­но­стей, для ко­то­ро­го функ­ция рас­пре­де­ле­ния $F(x)$ не­пре­рыв­на на всей дей­ст­ви­тель­ной оси и ме­ра Ле­бе­га мно­же­ст­ва её то­чек рос­та рав­на ну­лю. При этом точ­ка $x$ на­зы­ва­ет­ся точ­кой рос­та функ­ции $F(x)$, ес­ли $F(x+ε)-F(x-ε) > 0$ для лю­бо­го $ε > 0$. Точ­ка­ми рос­та $F(x)$ для дис­крет­но­го рас­пре­де­ле­ния яв­ля­ют­ся её точ­ки раз­ры­ва и пре­дель­ные для них, а для аб­со­лют­но не­пре­рыв­но­го рас­пре­де­ле­ния, т. е. для рас­пре­де­ле­ния, имею­ще­го плот­ность ве­ро­ят­но­сти, точ­ка­ми рос­та за­ве­до­мо яв­ля­ют­ся точ­ки $x$, в ко­то­рых плот­ность по­ло­жи­тель­на и не­пре­рыв­на. Са­мый из­вест­ный при­мер С. р. да­ёт рас­пре­де­ле­ние Кан­то­ра, для функ­ции рас­пре­де­ле­ния ко­то­ро­го мно­же­ст­во то­чек рос­та сов­па­да­ет с Кан­то­ра мно­же­ст­вом. В при­клад­ных за­да­чах С. р. прак­ти­че­ски не встре­ча­ют­ся. Лю­бая функ­ция рас­пре­де­ле­ния $G(x)$ до­пус­ка­ет пред­став­ле­ние$$G(x)=p_{ac}G_{ac}(x)+p_sG_s(x)+p_dG_d(x),$$ где сум­ма не­от­ри­ца­тель­ных чи­сел $p_{ac}$, $p_s$, $p_d$ рав­на еди­ни­це, а $G_{ac}(x)$, $G_s(x)$, $G_d(x)$ – аб­со­лют­но не­пре­рыв­ная, син­гуляр­ная и дис­крет­ная функ­ции рас­пре­де­ле­ния. Пра­вая часть по­след­не­го ра­вен­ст­ва на­зы­ва­ет­ся раз­ло­же­ни­ем Ле­бе­га функ­ции $G(x)$.