РАЦИОНА́ЛЬНАЯ ФУ́НКЦИЯ

РАЦИОНА́ЛЬНАЯ ФУ́НКЦИЯ, функ­ция ви­да$$R(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$$где $P(z)$ и $Q(z)$ – мно­го­чле­ны $$P(z)=a_0z^n+a_1z^{n–1}+...+a_n,\\ Q(z)=b_0z^m+b_1z^{m–1}+...+b_m,\\ a_0, a_1, ..., a_n, b_0, b_1, ..., b_m –$$ по­сто­ян­ные, на­зы­ва­емые ко­эф­фи­ци­ен­та­ми Р. ф., $a_0≠0$, $b_0≠0$, $n$, $m$ – це­лые не­от­ри­ца­тель­ные чис­ла. В ча­ст­но­сти, Р. ф. яв­ля­ют­ся мно­го­член и дроб­но-ли­ней­ная функ­ция. Мож­но счи­тать, что мно­го­чле­ны $P(z)$ и $Q(z)$ вза­им­но про­стые, т. е. не име­ют об­щих кор­ней, т. к. в про­тив­ном слу­чае дробь $\frac{P(z)}{Q(z)}$ мож­но со­кра­тить.

Р. ф. яв­ля­ет­ся ме­ро­морф­ной функ­ци­ей в рас­ши­рен­ной ком­плекс­ной плос­ко­сти. Спра­вед­ли­во и об­рат­ное ут­вер­жде­ние: ме­ро­морф­ная в рас­ши­рен­ной ком­плекс­ной плос­ко­сти функ­ция яв­ля­ет­ся Р. ф. По­лю­са­ми Р. ф. яв­ля­ют­ся кор­ни её зна­ме­на­те­ля и точ­ка $z=∞$, ес­ли $n\gt m$. При $z→∞$ име­ет ме­сто асим­пто­тич. фор­му­ла $$R(z)\approx \frac{a_0}{b_0}z^{n-m}.$$Сум­ма, раз­ность, про­из­ве­де­ние, ча­ст­ное и су­пер­по­зи­ция (слож­ная функ­ция) Р. ф. так­же яв­ля­ют­ся Р. ф. Про­из­вод­ная Р. ф. – так­же Р. ф. Ес­ли $z_0≠∞$ – по­люс Р. ф. $R(z)$ по­ряд­ка $k$, то $z_0$ – по­люс Р. ф. $R′(z)$ по­ряд­ка $k+1$; ес­ли $n\gt m+1$, то $z_0=∞$ – по­люс функ­ции $R′(z)$ по­ряд­ка $n-m-1$.

Р. ф. на­зы­ва­ет­ся пра­виль­ной Р. ф., ес­ли $n\lt m$. При $n⩾m$ Р. ф. мож­но пред­ста­вить в ви­де сум­мы мно­го­чле­на и пра­виль­ной Р. ф.: где $M(z)$ – мно­го­член сте­пе­ни $n-m$, $N(z)$ – мно­го­член сте­пе­ни, мень­шей $m$. Та­кое пред­став­ле­ние од­но­знач­но, мно­го­чле­ны $M(z)$, $N(z)$ мож­но най­ти из фор­му­лы $$P(z)=M(z)Q(z)+N(z)$$ не­оп­ре­де­лён­ных ко­эф­фи­ци­ен­тов ме­то­дом. Пра­виль­ную Р. ф. мож­но раз­ло­жить на эле­мен­тар­ные дро­би, т. е. пред­ста­вить в ви­де ко­неч­ной сум­мы эле­мен­тар­ных дро­бей, по­это­му лю­бую Р. ф. мож­но пред­ста­вить в ви­де мно­го­чле­на и ко­неч­ной сум­мы эле­мен­тар­ных дро­бей: $$R(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}=\frac{P(z)}{b_0(z-z_1)^{k_1}...(z-z_s)^{k_s}}=\\=M(z)+\frac{A_{1}^{(1)}}{z-z_1}+...\frac{A_{k_1}^{(1)}}{(z-z_1)^{k_1}}+...\\...+\frac{A_{1}^{(s)}}{z-z_s}+...+\frac{A_{k_s}^{(s)}}{(z-z_s)^{k_s}},$$ где $z_1, ..., z_s$ – разл. кор­ни мно­го­чле­на $Q(z)$ крат­но­стей со­от­вет­ст­вен­но $k_1, ..., k_s$, $k_1+ ...+k_s=m$. Ко­эф­фи­ци­ен­ты это­го раз­ло­же­ния оп­ре­де­ля­ют­ся од­но­знач­но и мо­гут быть най­де­ны, напр., ме­то­дом не­опре­де­лён­ных ко­эф­фи­ци­ен­тов. Раз­ло­же­ние Р. ф. на эле­мен­тар­ные дро­би удоб­но для вы­чис­ле­ния ин­те­гра­ла от ра­цио­наль­ной функ­ции.

Р. ф. не­сколь­ких пе­ре­мен­ных оп­ре­де­ля­ет­ся как дробь, у ко­то­рой чис­ли­тель и зна­ме­на­тель – мно­го­чле­ны не­сколь­ких пе­ре­мен­ных.