ДРО́БНО-ЛИНЕ́ЙНАЯ ФУ́НКЦИЯ

ДРО́БНО-ЛИНЕ́ЙНАЯ ФУ́НКЦИЯ, функ­ция $$y=\frac{ax+b}{cx+d},$$ где $x$ – дей­ст­ви­тель­ная пе­ре­мен­ная, $a, b, c, d$ – дей­ст­ви­тель­ные чис­ла и $ad-bc≠0$. При $ad-bc=0$ Д.-л. ф. сво­дит­ся к то­ж­де­ст­вен­ной по­сто­ян­ной; ес­ли $ad-bc≠0$, но $c=0$, то Д.-л. ф. сво­дит­ся к ли­ней­ной функ­ции. При $c≠0$ гра­фи­ком Д.-л. ф. яв­ля­ет­ся рав­но­боч­ная ги­пер­бо­ла с го­ри­зон­таль­ной асим­пто­той $y=a/c$ и вер­ти­каль­ной асим­пто­той $x=–d/c$.

В слу­чае ком­плекс­ной пе­ре­мен­ной $x$ и ком­плекс­ных чи­сел $a, b, c, d$ Д.-л. ф. осу­ще­ст­в­ля­ет вза­им­но од­но­знач­ное и кон­форм­ное ото­бра­же­ние ком­плекс­ной плос­ко­сти (по­пол­нен­ной точ­кой $∞$) на се­бя, на­зы­вае­мое дроб­но-ли­ней­ным ото­бра­же­ни­ем (это един­ст­вен­ная ана­ли­тич. функ­ция, об­ла­даю­щая ука­зан­ным свой­ст­вом). Д.-л. ф. ха­рак­те­ри­зу­ет­ся так­же тем, что она пе­ре­во­дит пря­мые и ок­руж­но­сти, ле­жа­щие в ком­плекс­ной плос­ко­сти, в пря­мые и ок­руж­но­сти. Вся­кое кон­форм­ное ото­бра­же­ние внут­рен­но­сти кру­га на се­бя осу­ще­ст­в­ля­ет­ся при по­мо­щи Д.-л. ф. Двой­ное от­но­ше­ние че­ты­рёх то­чек $$\frac{x_4-x_1}{x_4-x_2}:\frac{x_3-x_1}{x_3-x_2}.$$

яв­ля­ет­ся ин­ва­ри­ан­том Д.-л. ф. Ины­ми сло­ва­ми, ес­ли Д.-л. ф. пе­ре­во­дит $x_1$ в $y_1$, $x_2$ в $y_2$, $x_3$ в $y_3$ и $x_4$ в $y_4$, то $$\frac{y_4−y_1}{y4−y2}:\frac{y_3−y_1}{y_3−y_2}=\frac{x_4−x_1}{x_4−x_2}:\frac{x_3−x_1}{x_3−x_2}.$$−y1y4−y2:y3−y1y3−y2=x4−x1x4−x2:x3−x1x3−x2

.