КОНФО́РМНОЕ ОТОБРАЖЕ́НИЕ

КОНФО́РМНОЕ ОТОБРАЖЕ́НИЕ (кон­форм­ное пре­об­ра­зо­ва­ние), ото­бра­же­ние од­ной об­лас­ти (в плос­ко­сти или в про­стран­ст­ве) на дру­гую об­ласть, со­хра­няю­щее уг­лы ме­ж­ду кри­вы­ми. Про­стей­ши­ми при­ме­ра­ми К. о. яв­ля­ют­ся пре­об­ра­зо­ва­ния по­до­бия и по­во­ро­ты (ор­то­го­наль­ные пре­об­ра­зо­ва­ния).

К. о. при­ме­ня­ет­ся в кар­то­гра­фии, ко­гда тре­бу­ет­ся часть по­верх­но­сти зем­но­го ша­ра изо­бра­зить на плос­ко­сти (кар­те) с со­хра­не­ни­ем ве­ли­чин всех уг­лов; при­ме­ры та­ких К. о. – сте­рео­гра­фи­че­ская про­ек­ция и про­ек­ция Мер­ка­то­ра (см. Кар­то­гра­фи­че­ские про­ек­ции). Осо­бое ме­сто за­ни­ма­ют К. о. од­них об­лас­тей плос­ко­сти на дру­гие; их тео­рия име­ет су­ще­ст­вен­ные при­ло­же­ния в аэ­ро- и гид­ро­ме­ха­ни­ке, элек­тро­ста­ти­ке и тео­рии уп­ру­го­сти. Ре­ше­ние мн. важ­ных за­дач лег­ко по­лу­ча­ет­ся, ко­гда об­ласть, для ко­то­рой ста­вит­ся за­да­ча, име­ет дос­та­точ­но про­стой вид (напр., круг или по­лу­плос­кость). Ес­ли за­да­ча ста­вит­ся для бо­лее слож­ной об­лас­ти, то ока­зы­ва­ет­ся дос­та­точ­ным кон­форм­но ото­бра­зить про­стей­шую об­ласть на дан­ную, что­бы по­лу­чить ре­ше­ние но­вой за­да­чи из из­вест­но­го ре­ше­ния. Имен­но та­ким пу­тём шёл Н. Е. Жу­ков­ский, соз­да­вая тео­рию кры­ла са­мо­лё­та.

Не вся­кие об­лас­ти плос­ко­сти до­пус­ка­ют К. о. друг на дру­га. Так, напр., кру­го­вое коль­цо, ог­ра­ни­чен­ное кон­цен­трич. ок­руж­но­стя­ми, нель­зя кон­форм­но ото­бра­зить на коль­цо с дру­гим от­но­ше­ни­ем ра­диу­сов. Од­на­ко лю­бые две об­лас­ти, ка­ж­дая из ко­то­рых ог­ра­ни­че­на лишь од­ной кри­вой (од­но­связ­ные об­лас­ти), мо­гут быть кон­форм­но ото­бра­же­ны друг на дру­га (тео­ре­ма Ри­ма­на). Что ка­са­ет­ся об­лас­тей, ог­ра­ни­чен­ных не­сколь­ки­ми кри­вы­ми, то та­кую об­ласть все­гда мож­но кон­форм­но ото­бра­зить на об­ласть, ог­ра­ни­чен­ную та­ким же чис­лом па­рал­лель­ных ме­ж­ду со­бой пря­мо­ли­ней­ных от­рез­ков (тео­ре­ма Гиль­бер­та) или ок­ружно­стей (тео­ре­ма Кё­бе), но раз­ме­ры и вза­им­ное рас­по­ло­же­ние этих от­рез­ков или ок­руж­но­стей нель­зя за­дать про­из­воль­но.

Ес­ли вве­сти ком­плекс­ные пе­ре­мен­ные $z$ и $w$ в плос­ко­стях ори­ги­на­ла и об­раза, то пе­ре­мен­ная $w$, рас­смат­ри­вае­мая при К. о. как функ­ция от $z$, яв­ля­ет­ся или ана­ли­ти­че­ской функ­ци­ей, или функ­ци­ей, ком­плекс­но со­пря­жён­ной с ана­ли­ти­че­ской. Об­рат­но, лю­бая функ­ция, ана­ли­ти­че­ская в дан­ной об­лас­ти и при­ни­маю­щая в раз­ных точ­ках об­лас­ти раз­ные зна­че­ния (та­кая функ­ция на­зы­ва­ет­ся од­но­ли­ст­ной), кон­форм­но ото­бра­жа­ет дан­ную об­ласть на не­ко­то­рую дру­гую об­ласть. По­это­му изу­че­ние К. о. об­лас­тей плос­ко­сти сво­дит­ся к изу­че­нию од­но­ли­ст­ных ана­ли­тич. функ­ций.

Вся­кое К. о. трёх­мер­ных об­лас­тей пе­ре­во­дит сфе­ры и плос­ко­сти в сфе­ры и плос­ко­сти и сво­дит­ся или к пре­об­ра­зо­ва­нию по­до­бия, или к по­сле­до­ва­тель­но вы­пол­нен­ным од­но­му пре­об­ра­зо­ва­нию ин­вер­сии и од­но­му пре­об­ра­зо­ва­нию по­до­бия (тео­ре­ма Лиу­вил­ля). По­это­му К. о. трёх­мер­ных (и во­об­ще мно­го­мер­ных) об­лас­тей не име­ют столь боль­шо­го зна­че­ния и та­ких раз­но­об­раз­ных при­ло­же­ний, как К. о. дву­мер­ных об­лас­тей.

На­ча­ло тео­рии К. о. за­ло­же­но Л. Эй­ле­ром (1777), об­на­ру­жив­шим связь функ­ций ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го с за­да­чей о К. о. час­тей сфе­ры на плос­кость (для по­строе­ния гео­гра­фич. карт). Изу­че­ние об­щей за­да­чи К. о. од­ной по­верх­но­сти на дру­гую при­ве­ло К. Га­ус­са (1822) к раз­ви­тию об­щей тео­рии по­верх­но­стей. Б. Ри­ман (1851) сфор­му­ли­ро­вал ус­ло­вия, при ко­то­рых воз­мож­но К. о. од­ной об­лас­ти плос­ко­сти на дру­гую, од­на­ко на­ме­чен­ный им под­ход уда­лось обос­но­вать лишь в нач. 20 в. (А. Пу­ан­ка­ре и К. Ка­ра­те­о­до­ри). Ис­сле­до­ва­ния Н. Е. Жу­ков­ско­го и С. А. Ча­п­лы­ги­на, от­крыв­ших ши­ро­кое по­ле при­ло­же­ний К. о. в аэ­ро- и гид­ро­ме­ха­ни­ке, по­слу­жи­ли мощ­ным сти­му­лом для раз­ви­тия тео­рии К. о. как боль­шо­го раз­де­ла тео­рии ана­ли­тич. функ­ций.