НЕОПРЕДЕЛЁННЫХ КОЭФФИЦИЕ́НТОВ МЕ́ТОД

НЕОПРЕДЕЛЁННЫХ КОЭФФИЦИЕ́НТОВ МЕ́ТОД, при­ме­ня­ет­ся для вы­чис­ле­ния ко­эф­фи­ци­ен­тов в вы­ра­же­ни­ях, у ко­то­рых чис­лен­ные зна­че­ния не­ко­то­рых по­сто­ян­ных не­из­вест­ны. Напр., для вы­чис­ле­ния не­оп­ре­де­лён­но­го ин­те­гра­ла от функ­ции $$\frac{3x^2-1}{x(x^2-1)}$$её удоб­но пред­ста­вить в ви­де сум­мы дро­бей с по­сто­ян­ны­ми чис­ли­те­ля­ми и зна­ме­на­те­ля­ми $x, x-1$ и $x+1$, т. е. в ви­де $$\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1},$$где $A,B$ и $C$ – не­ко­то­рые чис­ла (ко­эф­фи­ци­ен­ты, под­ле­жа­щие оп­ре­де­ле­нию). Что­бы най­ти их, при­рав­ни­ва­ют два вы­ра­же­ния для ука­зан­ной функ­ции, т. е. пи­шут $$\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1}=\frac{3x^2-1}{x(x^2-1)}$$и, ос­во­бо­ж­да­ясь от зна­ме­на­те­лей, по­лу­ча­ют ра­вен­ст­во$$(A+B+C)x^2+(B-C)x-A=3x^2-1$$и тре­бу­ют, что­бы оно вы­пол­ня­лось при всех $x$. Это воз­мож­но то­гда и толь­ко то­гда, ко­гда ко­эф­фи­ци­ен­ты при оди­на­ко­вых сте­пе­нях $x$ в пра­вой и ле­вой час­тях сов­па­да­ют. Так по­лу­ча­ют­ся три урав­не­ния для оп­ре­де­ле­ния трёх не­изв. ко­эф­фи­ци­ен­тов: $A+B+C=3,\; B-C=0, \;A=1$, от­ку­да $A=B=C=1$. По­это­му $$\frac{3x^2-1}{x(x^2-1)}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1};$$спра­вед­ли­вость это­го ра­вен­ст­ва лег­ко про­ве­рить не­по­сред­ст­вен­но. Ус­пех при­ме­не­ния Н. к. м. за­ви­сит от пра­виль­но­сти вы­бо­ра вы­ра­же­ний, ко­эф­фи­ци­ен­ты ко­то­рых оты­ски­ва­ют­ся.

Осо­бен­но важ­ны при­ме­не­ния Н. к. м. к за­да­чам, в ко­то­рых мно­же­ст­во не­извест­ных ко­эф­фи­ци­ен­тов бес­ко­неч­но. К ним от­но­сят­ся, напр., за­да­ча де­ле­ния сте­пен­ных ря­дов и за­да­ча на­хо­ж­де­ния ре­ше­ния диф­фе­рен­ци­аль­но­го урав­не­ния в ви­де сте­пен­но­го ря­да. Пусть нуж­но най­ти ре­ше­ние диф­фе­рен­ци­аль­но­го урав­не­ния ${y}''+xy=0$ та­кое, что ${y}′=1$ при $x=0$. Из тео­рии диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний из­вест­но, что ре­ше­ние это­го урав­не­ния с ука­зан­ным ус­ло­ви­ем име­ет вид сте­пен­но­го ря­да$$y=x+c_2x^2+c_3x^3+c_4x^4+c_5x^5+\dots\;,$$что да­ёт для ${y}''$ вы­ра­же­ние$$2c_2+3·2c_3x+4·3c_4z^2+5·4c_5x^3+\dots\; .$$

Под­став­ляя его и вы­ра­же­ние для про­изве­де­ния $xy$ в ле­вую часть ис­ход­но­го урав­не­ния, по­сле при­ве­де­ния по­доб­ных чле­нов по­лу­ча­ют ра­вен­ст­во$$2c_2+3·2c_3x+(4·3c_4+1)x^2+(5·4c_5+c_2)x^3+\dots=0,$$от­ку­да для оп­ре­де­ле­ния не­изв. ко­эф­фи­ци­ен­тов по­лу­ча­ют бес­ко­неч­ную сис­те­му урав­не­ний: $2c_2=0,\: 3·2c_3=0,\: 4·3c_4+1= 0,\: 5·4c_5+c_2=0,\:\dots\;.$ Ре­шая эти урав­не­ния по­сле­до­ва­тель­но, на­хо­дят$$c_2=0, c_3=0, c_4=-\frac{1}{3\cdot4}, c_5=0, c_6=0, c_7=\frac{1}{3\cdot4\cdot6\cdot7},\:\dots\; ,$$то есть $$y=x-\frac{1}{3\cdot4}x^4+\frac{1}{3\cdot4\cdot6\cdot7}x^7+\:\dots\; .$$