НЕОПРЕДЕЛЁННЫХ КОЭФФИЦИЕ́НТОВ МЕ́ТОД
-
Рубрика: Математика
-
Скопировать библиографическую ссылку:
НЕОПРЕДЕЛЁННЫХ КОЭФФИЦИЕ́НТОВ МЕ́ТОД, применяется для вычисления коэффициентов в выражениях, у которых численные значения некоторых постоянных неизвестны. Напр., для вычисления неопределённого интеграла от функции $$\frac{3x^2-1}{x(x^2-1)}$$её удобно представить в виде суммы дробей с постоянными числителями и знаменателями $x, x-1$ и $x+1$, т. е. в виде $$\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1},$$где $A,B$ и $C$ – некоторые числа (коэффициенты, подлежащие определению). Чтобы найти их, приравнивают два выражения для указанной функции, т. е. пишут $$\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1}=\frac{3x^2-1}{x(x^2-1)}$$и, освобождаясь от знаменателей, получают равенство$$(A+B+C)x^2+(B-C)x-A=3x^2-1$$и требуют, чтобы оно выполнялось при всех $x$. Это возможно тогда и только тогда, когда коэффициенты при одинаковых степенях $x$ в правой и левой частях совпадают. Так получаются три уравнения для определения трёх неизв. коэффициентов: $A+B+C=3,\; B-C=0, \;A=1$, откуда $A=B=C=1$. Поэтому $$\frac{3x^2-1}{x(x^2-1)}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1};$$справедливость этого равенства легко проверить непосредственно. Успех применения Н. к. м. зависит от правильности выбора выражений, коэффициенты которых отыскиваются.
Особенно важны применения Н. к. м. к задачам, в которых множество неизвестных коэффициентов бесконечно. К ним относятся, напр., задача деления степенных рядов и задача нахождения решения дифференциального уравнения в виде степенного ряда. Пусть нужно найти решение дифференциального уравнения ${y}''+xy=0$ такое, что ${y}′=1$ при $x=0$. Из теории дифференциальных уравнений известно, что решение этого уравнения с указанным условием имеет вид степенного ряда$$y=x+c_2x^2+c_3x^3+c_4x^4+c_5x^5+\dots\;,$$что даёт для ${y}''$ выражение$$2c_2+3·2c_3x+4·3c_4z^2+5·4c_5x^3+\dots\; .$$
Подставляя его и выражение для произведения $xy$ в левую часть исходного уравнения, после приведения подобных членов получают равенство$$2c_2+3·2c_3x+(4·3c_4+1)x^2+(5·4c_5+c_2)x^3+\dots=0,$$откуда для определения неизв. коэффициентов получают бесконечную систему уравнений: $2c_2=0,\: 3·2c_3=0,\: 4·3c_4+1= 0,\: 5·4c_5+c_2=0,\:\dots\;.$ Решая эти уравнения последовательно, находят$$c_2=0, c_3=0, c_4=-\frac{1}{3\cdot4}, c_5=0, c_6=0, c_7=\frac{1}{3\cdot4\cdot6\cdot7},\:\dots\; ,$$то есть $$y=x-\frac{1}{3\cdot4}x^4+\frac{1}{3\cdot4\cdot6\cdot7}x^7+\:\dots\; .$$