РАСКРЫ́ТИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЕЙ

РАСКРЫ́ТИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЕЙ, вы­чис­ле­ние пре­де­лов функ­ций, за­дан­ных фор­му­ла­ми, ко­то­рые в ре­зуль­та­те под­ста­нов­ки в них пре­дель­ных зна­че­ний ар­гу­мен­та те­ря­ют смысл, т. е. пе­ре­хо­дят в вы­ра­же­ния $$\frac{0}{0},\,\frac{∞}{∞},\,0·∞, ∞-∞, 0^0, ∞^0, 1^∞.$$ По этим вы­ра­же­ни­ям нель­зя су­дить о том, су­ще­ст­ву­ют ли ис­ко­мые пре­де­лы, не го­во­ря уже о на­хо­ж­де­нии их зна­че­ний, ес­ли они су­ще­ст­ву­ют. Р. н. час­то ос­но­вы­ва­ет­ся на за­ме­не од­ной функ­ции дру­гой, ко­то­рая име­ет тот же пре­дел и вы­чис­ле­ние ко­то­ро­го не пред­став­ля­ет труд­но­стей. Ино­гда та­кая за­ме­на дос­ти­га­ет­ся пу­тём ал­геб­ра­ич. пре­об­ра­зо­ва­ний. Так, в вы­ра­же­нии $$\frac{1-x}{1-x^2}=\frac{1-x}{(1-x)(1+x)}$$ чис­ли­тель и зна­ме­на­тель при $x≠1$ мож­но со­кра­тить на $1-x$, по­это­му $$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1-x}{1-x^2}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1}{1+x}=\frac{1}{2}.$$

Осн. ин­ст­ру­мен­том для Р. н. слу­жит Тей­ло­ра фор­му­ла

, с по­мо­щью ко­то­рой вы­де­ля­ет­ся гл. часть функ­ции. Так, для то­го что­бы най­ти пре­дел $$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)},$$ где $\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=0$ и $\lim_{x→x_0}  g(x)=0$ (т. е. в слу­чае не­оп­ре­де­лён­но­сти $0/0$), функ­ции $f$ и $g$ с по­мо­щью фор­му­лы Тей­ло­ра (ес­ли это воз­мож­но) пред­став­ля­ют в ви­де $f(x)=a(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n),\,x→x_0,\,a≠0$, и $g(x)=b(x-x_0)^m+o((x-x_0)^m),\,x→x_0,\,b≠0,\,(a(x-x_0)^n)$ и $b(x-x_0)^m$ – пер­вые не­ну­ле­вые сла­гае­мые в пред­став­ле­ни­ях функ­ций $f(x)$, $g(x)$ в ок­ре­ст­но­сти точ­ки $x_0$) и в ре­зуль­та­те по­лу­ча­ют $$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{a}{b}\lim_{x\rightarrow x_0}(x-x_0)^{n-m}.$$ По­след­ний пре­дел ра­вен ну­лю, ес­ли $n\gt m$, ра­вен $a/b$, ес­ли $n=m$, и бес­ко­не­чен, ес­ли $n\lt m$.

В слу­чае не­оп­ре­де­лён­но­сти $\frac{\infty}{\infty}$ для вычис­ле­ния пре­де­ла $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)/g(x)$ при­ме­ня­ют пре­об­ра­зо­ва­ние $$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{1/g(x)}{1/(x)},$$ сво­дя­щее за­да­чу к Р. н. $0/0$. Не­оп­ре­де­лён­но­сти $0·∞$ и $∞-∞$ так­же це­ле­со­об­раз­но при­во­дить к ви­ду $0/0$ пре­об­ра­зо­ва­ния­ми $$f(x)g(x)=\frac{f(x)}{1/g(x)}=\frac{g(x)}{1/f(x)}$$ и $$f(x)-g(x)=\frac{1/g(x)-1/f(x)}{(1/f(x))(1/g(x))}.$$ Для Р. н. $0^0$, $∞^0$, $1^∞$ це­ле­со­об­раз­но вна­ча­ле про­ло­га­риф­ми­ро­вать вы­ра­же­ния, пре­дел ко­то­рых тре­бу­ет­ся най­ти.

Для Р. н. $0/0$ и $∞/∞$ мож­но ис­поль­зо­вать тео­ре­му (пра­ви­ло) Ло­пи­та­ля, ут­вер­ждаю­щую, что в этих слу­ча­ях $$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)},$$ ес­ли $f(x)$ и $g(x)$ диф­фе­рен­ци­руе­мы в ок­ре­ст­но­сти (ко­неч­ной или бес­ко­неч­но уда­лён­ной) точ­ки $x_0$, за воз­мож­ным ис­клю­че­ни­ем са­мой точ­ки $x_0$, и вто­рой пре­дел су­ще­ст­ву­ет. Это пра­ви­ло со­об­ще­но И. Бер­нул­ли франц. ма­те­ма­ти­ку Г. де Ло­пи­та­лю, ко­то­рый опуб­ли­ко­вал его в 1696.

Не­оп­ре­де­лён­но­сти $0·∞$, $∞-∞$ рас­смат­ри­вал Л. Эй­лер

(1748), а $∞^0$, $1^∞$ – О. Ко­ши

 >>

(1821, 1823).