ТЕ́ЙЛОРА ФО́РМУЛА

ТЕ́ЙЛОРА ФО́РМУЛА, пред­став­ле­ние функ­ции в ви­де сум­мы её мно­го­чле­на Тей­ло­ра и ос­та­точ­но­го чле­на. Ес­ли дей­ст­ви­тель­ная функ­ция $f$ од­но­го пе­ре­мен­но­го име­ет $n$ про­из­вод­ных $f^{(k)}$ в точ­ке $x_0$, $n=0, 1, ...$, то Т. ф. для этой функ­ции име­ет вид $$f(x)=P_n(x)+r_n(x)$, где $$P_n(x)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$$– её мно­го­член Тей­ло­ра, а ос­та­точ­ный член $r_n(x)$ мо­жет быть за­пи­сан в фор­ме Пеа­но $$r_n(x)=o((x-x_0)^n),\,x→x_0.$$ Ес­ли функ­ция $f$ диф­фе­рен­ци­руе­ма $n+1$ раз в не­ко­то­рой ок­ре­ст­но­сти ($x_0-h$, $x_0+h$), $h > 0$, точ­ки $x_0$, то ос­та­точ­ный член в этой ок­ре­ст­но­сти мо­жет быть за­пи­сан в фор­ме Шлё­миль­ха – Ро­ша$$r_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(x_0+θ(x-x_0))}{n!p}(1-θ)^{(n-p+1)}(x-x_0)^{n+1},$$где $p=1, 2, ..., n+1$, ча­ст­ны­ми слу­чая­ми ко­то­рой яв­ля­ют­ся фор­ма Ла­гран­жа$$r_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(x_0+θ(x-x_0))}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$$и фор­ма Ко­ши $$r_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(x_0+θ(x-x_0))}{n!}(1-θ)^{n}(x-x_0)^{n+1},\\0 < θ < 1, x\in (x_0-h,\,x_0+h).$$Ес­ли про­из­вод­ная по­ряд­ка $n+1$ функ­ции $f$ ин­тег­ри­руе­ма на от­рез­ке с кон­ца­ми в точ­ках $x$, $x_0$, то ос­та­точ­ный член мож­но за­пи­сать в ин­те­граль­ной фор­ме$$r_n(x)=\frac{1}{n!}\int_{x_0}^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^n dt$$

Т. ф. со все­ми ука­зан­ны­ми фор­ма­ми за­пи­си её ос­та­точ­но­го чле­на обоб­ща­ет­ся на слу­чай функ­ций мно­гих пе­ре­мен­ных. Т. ф. в слу­чае $x_0=0$ ино­гда на­зы­ва­ют фор­му­лой Мак­ло­ре­на.

Т. ф. по­зво­ля­ет изу­че­ние ря­да свойств оп­ре­де­лён­ное чис­ло раз диф­фе­рен­ци­руе­мой функ­ции све­сти к су­ще­ст­вен­но бо­лее про­стой за­да­че изу­че­ния этих свойств у со­от­вет­ст­вую­ще­го мно­го­чле­на Тей­ло­ра – на этом и ос­но­ва­ны раз­но­об­раз­ные и мно­го­числ. при­ме­не­ния Т. ф. См. так­же Тей­ло­ра ряд.