ТЕ́ЙЛОРА РЯД

ТЕ́ЙЛОРА РЯД, сте­пен­ной ряд $$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k,\tag{1}$$ где чи­сло­вая функ­ция $f$ оп­ре­де­ле­на в не­ко­то­рой ок­ре­ст­но­сти точ­ки $x_0$ и име­ет в этой точ­ке про­из­вод­ные $f^{(k)}$ всех по­ряд­ков. При оп­ре­де­лён­ных ус­ло­ви­ях ряд (1) схо­дит­ся к $f(x)$ в не­ко­то­рой ок­ре­ст­но­сти точ­ки $x_0$. Час­тич­ные сум­мы ря­да (1) на­зы­ва­ют­ся мно­го­чле­на­ми Тей­ло­ра. При $x_0=0$ раз­ло­же­ние функ­ции в Т. р. при­ни­ма­ет вид $$f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$$ (этот ряд ино­гда на­зы­ва­ют ря­дом Мак­ло­ре­на), в ча­ст­но­сти, $$e^x=1+\frac{x}{1!}+...+\frac{x^k}{k!}+...,\tag{2}$$ $$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+...+(-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+...,\tag{3}$$ $$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+...+(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}+...,\tag{4}$$ $$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+...+(-1)^{k-1}\frac{x^k}{k}+...\,.\tag{5}$$ Ря­ды в пра­вых час­тях (2) – (4) схо­дят­ся к функ­ци­ям в их ле­вых час­тях при лю­бых зна­че­ни­ях $x$, ряд в пра­вой час­ти (5) – при $-1 < x ⩽ 1$.

Ес­ли $x_0$ – ком­плекс­ное чис­ло, функ­ция $f$ оп­ре­де­ле­на в не­ко­то­рой ок­ре­ст­но­сти точ­ки $x_0$ в мно­же­ст­ве ком­плекс­ных чи­сел и диф­фе­рен­ци­руе­ма в точ­ке $x_0$, то су­ще­ст­ву­ет ок­ре­ст­ность этой точ­ки, где функ­ция $f$ яв­ля­ет­ся сум­мой сво­его Т. р. (1). Ес­ли же $x_0$ – дей­ст­ви­тель­ное чис­ло, функ­ция $f$ оп­ре­де­ле­на в не­ко­то­рой ок­ре­ст­но­сти точ­ки $x_0$ в мно­же­ст­ве дей­ст­ви­тель­ных чи­сел и име­ет в точ­ке $x_0$ про­из­вод­ные всех по­ряд­ков, то функ­ция $f$ мо­жет ни в ка­кой ок­ре­ст­но­сти $x_0$ не быть сум­мой сво­его Т. р. Напр., функ­ция $$f(x)=e^{{-1/x}^2}\,при\,x≠0\,и\\f(x)=0\,при\,x=0\tag{6}$$ бес­ко­неч­но диф­фе­рен­ци­руе­ма на всей дей­ст­ви­тель­ной оси, не рав­на то­ж­де­ст­вен­но ну­лю ни в ка­кой ок­ре­ст­но­сти ну­ля, а все ко­эф­фи­ци­ен­ты её Т. р. в ну­ле рав­ны ну­лю.

Ес­ли функ­ция рас­кла­ды­ва­ет­ся в не­ко­то­рой ок­ре­ст­но­сти дан­ной точ­ки в сте­пен­ной ряд, то та­кой ряд един­ст­вен и яв­ля­ет­ся её Т. р. в этой точ­ке. Од­на­ко один и тот же сте­пен­ной ряд мо­жет яв­лять­ся Т. р. для раз­ных дей­ст­ви­тель­ных функ­ций. Так, сте­пен­ной ряд, у ко­то­ро­го все ко­эф­фи­ци­ен­ты рав­ны ну­лю, яв­ля­ет­ся как Т. р. для функ­ции, то­ж­де­ст­вен­но рав­ной ну­лю на всей дей­ст­ви­тель­ной оси, так и Т. р. для функ­ции (6) в точ­ке $x_0= 0$.

Дос­та­точ­ным ус­ло­ви­ем схо­ди­мо­сти Т. р. (1) к дей­ст­ви­тель­ной функ­ции $f$ на ин­тер­ва­ле ($x_0-h$, $x_0+h$) яв­ля­ет­ся ог­ра­ни­чен­ность в со­во­куп­но­сти всех её про­из­вод­ных на этом ин­тер­ва­ле.

Ряд (1) опуб­ли­ко­вал Б. Тей­лор