ТЕ́ЙЛОРА РЯД
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ТЕ́ЙЛОРА РЯД, степенной ряд $$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k,\tag{1}$$ где числовая функция $f$ определена в некоторой окрестности точки $x_0$ и имеет в этой точке производные $f^{(k)}$ всех порядков. При определённых условиях ряд (1) сходится к $f(x)$ в некоторой окрестности точки $x_0$. Частичные суммы ряда (1) называются многочленами Тейлора. При $x_0=0$ разложение функции в Т. р. принимает вид $$f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$$(этот ряд иногда называют рядом Маклорена), в частности, $$e^x=1+\frac{x}{1!}+...+\frac{x^k}{k!}+...,\tag{2}$$ $$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+...+(-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+...,\tag{3}$$ $$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+...+(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}+...,\tag{4}$$ $$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+...+(-1)^{k-1}\frac{x^k}{k}+...\,.\tag{5}$$ Ряды в правых частях (2) – (4) сходятся к функциям в их левых частях при любых значениях $x$, ряд в правой части (5) – при $-1 < x ⩽ 1$.
Если $x_0$ – комплексное число, функция $f$ определена в некоторой окрестности точки $x_0$ в множестве комплексных чисел и дифференцируема в точке $x_0$, то существует окрестность этой точки, где функция $f$ является суммой своего Т. р. (1). Если же $x_0$ – действительное число, функция $f$ определена в некоторой окрестности точки $x_0$ в множестве действительных чисел и имеет в точке $x_0$ производные всех порядков, то функция $f$ может ни в какой окрестности $x_0$ не быть суммой своего Т. р. Напр., функция $$f(x)=e^{{-1/x}^2}\,при\,x≠0\,и\\f(x)=0\,при\,x=0\tag{6}$$ бесконечно дифференцируема на всей действительной оси, не равна тождественно нулю ни в какой окрестности нуля, а все коэффициенты её Т. р. в нуле равны нулю.
Если функция раскладывается в некоторой окрестности данной точки в степенной ряд, то такой ряд единствен и является её Т. р. в этой точке. Однако один и тот же степенной ряд может являться Т. р. для разных действительных функций. Так, степенной ряд, у которого все коэффициенты равны нулю, является как Т. р. для функции, тождественно равной нулю на всей действительной оси, так и Т. р. для функции (6) в точке $x_0= 0$.
Достаточным условием сходимости Т. р. (1) к действительной функции $f$ на интервале ($x_0-h$, $x_0+h$) является ограниченность в совокупности всех её производных на этом интервале.
Ряд (1) опубликовал Б. Тейлор (1715), ряд, сводящийся к (1) простым преобразованием, – И. Бернулли (1694).