ПОВЕ́РХНОСТНЫЙ ИНТЕГРА́Л

ПОВЕ́РХНОСТНЫЙ ИНТЕГРА́Л, ин­те­грал от функ­ции, за­дан­ной на ка­кой-ли­бо по­верх­но­сти. К П. и. при­во­дит, напр., за­да­ча о вы­чис­ле­нии мас­сы, рас­пре­де­лён­ной на по­верх­но­сти $S$ с пе­ре­мен­ной по­верх­но­ст­ной плот­но­стью $f(M), M∈S$. Для это­го раз­би­ва­ют по­верх­ность на час­ти $s_1, ..., s_n$ и вы­би­ра­ют в ка­ж­дой из них по точ­ке $M_i, i= 1, ..., n$. Ес­ли эти час­ти дос­та­точ­но ма­лы, то их мас­сы при­бли­жён­но рав­ны $f(M_i)△s_i$, где $△s_i$ – пло­щадь $s_i, i=1, ..., n$, а мас­са всей по­верх­но­сти при­бли­жён­но рав­на $\sum_{i=1}^n f(M_i)\Delta s_i$. Это зна­че­ние тем бли­же к точ­но­му, чем мень­ше час­ти $s_i$. По­это­му точ­ное зна­че­ние мас­сы по­верх­но­сти есть $$\lim\sum_{i=1}^n f(M_i)\Delta s_i,$$где пре­дел (ес­ли он су­ще­ст­ву­ет и не за­ви­сит ни от раз­бие­ний $s_1, ..., s_n$, ни от вы­бо­ра то­чек $M_i∈s_i, i=1, ..., n$) бе­рёт­ся при ус­ло­вии, что раз­ме­ры всех час­тей $s_i$ (и их пло­ща­ди) стре­мят­ся к ну­лю при $n→∞$ . К ана­ло­гич­ным пре­де­лам при­во­дят и др. за­да­чи фи­зи­ки. Эти пре­де­лы на­зы­ва­ют по­верх­но­ст­ны­ми ин­те­гра­ла­ми 1-го ро­да от функ­ции $f(M)$ по по­верх­но­сти $S$ и обо­зна­ча­ют $$\iint_S f(M)ds=\iint_S f(x,y,z)ds.$$Их вы­чис­ле­ние сво­дит­ся к вы­чис­ле­нию двой­ных ин­те­гра­лов.

В не­ко­то­рых за­да­чах фи­зи­ки, напр. при оп­ре­де­ле­нии по­то­ка жид­ко­сти че­рез по­верх­ность $S$, встре­ча­ют­ся пре­де­лы ана­ло­гич­ных сумм с той лишь раз­ни­цей, что вме­сто пло­ща­дей са­мих час­тей сто­ят пло­ща­ди их про­ек­ций на три ко­ор­ди­нат­ные плос­ко­сти. При этом по­верх­ность $S$ пред­по­ла­га­ет­ся ори­ен­ти­ро­ван­ной (т. е. ука­за­но, ка­кое из на­правле­ний нор­ма­лей счи­та­ет­ся по­ло­жи­тель­ным), и пло­щадь по­верх­но­сти бе­рёт­ся со зна­ком + или – в за­ви­си­мо­сти от то­го, яв­ля­ет­ся ли угол ме­ж­ду по­ло­жи­тель­ным на­прав­ле­ни­ем нор­ма­ли и осью, пер­пен­ди­ку­ляр­ной плос­ко­сти про­ек­ции, ту­пым или ост­рым. Пре­де­лы сумм та­ко­го ви­да на­зы­ва­ют по­верх­но­ст­ны­ми ин­те­гра­ла­ми 2-го ро­да (или П. и. по про­ек­ци­ям) и обо­зна­ча­ют $$\iint_S Pdxdy+Qdzdx+Rdxdz.$$В от­ли­чие от П. и. 1-го ро­да знак П. и. 2-го ро­да за­ви­сит от ори­ен­та­ции по­верх­но­сти $S$.

М. В. Ост­ро­град­ский ус­та­но­вил важ­ную фор­му­лу, свя­зы­ваю­щую П. и. 2-го ро­да по замк­ну­той по­верх­но­сти с трой­ным ин­те­гра­лом по ог­ра­ни­чен­но­му ею объ­ё­му $V$ (см. Ост­ро­град­ско­го фор­му­ла). Сто­кса фор­му­ла вы­ра­жа­ет кри­во­ли­ней­ный ин­те­грал по замк­ну­то­му кон­ту­ру че­рез П. и. 2-го ро­да по ог­ра­ни­чен­ной этим кон­ту­ром по­верх­но­сти.