ПОВЕ́РХНОСТИ ВТОРО́ГО ПОРЯ́ДКА

ПОВЕ́РХНОСТИ ВТОРО́ГО ПОРЯ́ДКА, мно­же­ст­ва то­чек 3-мер­но­го про­стран­ст­ва, ко­ор­ди­на­ты ко­то­рых в де­кар­то­вой сис­те­ме ко­ор­ди­нат удов­ле­тво­ря­ют ал­геб­раи­че­ско­му урав­не­нию 2-й сте­пе­ни $$a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+ 2a_{12}xy+ 2a_{13}xz+\\ + 2a_{23}yz+ 2a_{14}x+ 2a_{24}y+ 2a_{34}z+a_{44}= 0.\tag{*}$$ Это урав­не­ние мо­жет и не оп­ре­де­лять дей­ст­ви­тель­но­го гео­мет­рич. об­раза, но для со­хра­не­ния общ­но­сти в та­ких слу­ча­ях го­во­рят, что оно оп­ре­де­ля­ет мни­мую П. в. п. Су­ще­ст­ву­ет пря­мо­уголь­ная сис­те­ма ко­ор­ди­нат, в ко­то­рой урав­не­ние (*) при­во­дит­ся к од­но­му из сле­дую­щих ка­но­нич. ви­дов, ка­ж­до­му из ко­то­рых со­от­вет­ст­ву­ет оп­ре­де­лён­ный класс по­верх­но­сти вто­ро­го по­ряд­ка.

Нераспадающиеся поверхности

Не­вы­ро­ж­даю­щие­ся:

эл­лип­ти­че­ские

1. $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ – эл­лип­со­ид,

2. $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=-1$ – мни­мый эл­лип­соид;

ги­пер­бо­ли­че­ские

3. $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$ – од­но­по­ло­ст­ный ги­пер­бо­ло­ид,

4. $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$ – дву­по­ло­ст­ный ги­пер­бо­ло­ид;

па­ра­бо­ли­че­ские ($p\gt 0, q\gt 0$)

5. $\frac{x^2}{p}+\frac{y^2}{q}=2z$ – эл­лип­тич. па­ра­бо­ло­ид,

6. $\frac{x^2}{p}-\frac{y^2}{q}=2z$ – ги­пер­бо­лич. па­ра­бо­лоид.

Вы­ро­ж­даю­щие­ся:

ци­лин­д­ри­че­ские

7. $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ – эл­лип­тич. ци­линдр,

8. $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=-1$ – мни­мый эл­лип­тич. ци­линдр,

9. $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ – ги­пер­бо­лич. ци­линдр,

10. $y^2=2px$ – па­ра­бо­лич. ци­линдр;

ко­ни­че­ские

11. $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$ – ко­нус,

12. $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=0$ – мни­мый ко­нус.

Распадающиеся вырождающиеся поверхности

13. $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0$ – па­ра пе­ре­се­каю­щих­ся плос­ко­стей,

14. $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0$ – па­ра мни­мых пе­ре­се­каю­щих­ся плос­ко­стей,

15. $x^2=a^2$ – па­ра па­рал­лель­ных плос­ко­стей,

16. $x^2=–a^2$ – па­ра мни­мых па­рал­лель­ных плос­ко­стей,

17. $x^2=0$ – па­ра сов­па­даю­щих плос­ко­стей.

П. в. п., имею­щая един­ст­вен­ный центр сим­мет­рии (центр П. в. п.), на­зы­ва­ет­ся цен­траль­ной П. в. п.; без цен­тра сим­мет­рии или с не­оп­ре­де­лён­ным цен­тром – не­цен­траль­ной по­верх­но­стью вто­ро­го по­ряд­ка.

Сре­ди П. в. п., со­дер­жа­щих хо­тя бы од­ну точ­ку, ог­ра­ни­чен­ны­ми яв­ля­ют­ся лишь эл­лип­ти­че­ские, все ос­таль­ные не­ог­ра­ни­чен­ные. Пе­ре­се­че­ния П. в. п. с плос­ко­стью яв­ля­ют­ся ли­ния­ми вто­ро­го по­ряд­ка.

Ис­сле­до­ва­ние ви­да П. в. п. мо­жет быть про­ве­де­но (таб­ли­цы 1 и 2) без при­ве­де­ния урав­не­ния (*) к ка­но­нич. ви­ду с по­мо­щью т. н. ин­ва­ри­ан­тов П. в. п., со­став­лен­ных из ко­эф­фи­ци­ен­тов это­го урав­не­ния. Ос­нов­ные ин­ва­ри­ан­ты: $$S=a_{11}+a_{22}+a_{33}, \\ T=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}, \\ \delta=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{vmatrix}, \Delta=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34} \\ a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44} \end{vmatrix}.$$

Их зна­че­ния не ме­ня­ют­ся при па­рал­лель­ном пе­ре­но­се и по­во­ро­те сис­те­мы ко­ор­ди­нат. Ис­поль­зу­ют­ся так­же се­ми­ин­ва­ри­ан­ты (по­лу­ин­ва­ри­ан­ты) $Δ′$ и $\Delta″$, ко­то­рые яв­ля­ют­ся ин­ва­ри­ан­та­ми от­но­си­тель­но по­во­ро­та сис­те­мы ко­ор­ди­нат:$$Δ′=Δ_{11}+Δ_{22}+Δ_{33},$$ где $Δ_{ij}$ – ал­геб­ра­ич. до­пол­не­ние эле­мен­та $a_{ij}$ в $Δ$; $$\Delta''=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{14} \\ a_{14} & a_{44} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{22} & a_{24} \\ a_{24} & a_{44} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{33} & a_{34} \\ a_{34} & a_{44} \end{vmatrix}.$$Их зна­че­ния не ме­ня­ют­ся при по­во­ро­те осей ко­ор­ди­нат. Ин­ва­ри­ан­ты П. в. п. оп­ре­де­ля­ют П. в. п. с точ­но­стью до дви­же­ний евк­ли­до­ва про­стран­ст­ва. Лю­бые две не­рас­па­даю­щие­ся П. в. п., ин­ва­ри­ан­ты ко­то­рых со­от­вет­ст­вен­но рав­ны, эк­ви­ва­лент­ны по от­но­ше­нию к груп­пе дви­же­ния про­стран­ст­ва, т. е. мо­гут быть со­вме­ще­ны дви­же­ни­ем.

По от­но­ше­нию к бо­лее ши­ро­кой, чем груп­па дви­же­ний, груп­пе аф­фин­ных пре­об­ра­зо­ва­ний эк­ви­ва­лент­ны­ми яв­ля­ют­ся П. в. п., ка­но­нич. урав­не­ния ко­то­рых сов­па­да­ют; име­ет­ся 17 аф­фин­но эк­ви­ва­лент­ных клас­сов, ка­но­нич. урав­не­ния ко­то­рых по­лу­ча­ют­ся из урав­не­ний 1–17 при $a=b=c=1$ и $2p=2q=1$.

В про­ек­тив­ной гео­мет­рии эк­ви­ва­лент­ны­ми яв­ля­ют­ся П. в. п., ко­то­рые мо­гут быть пе­ре­ве­де­ны друг в дру­га при про­ек­тив­ных пре­об­ра­зо­ва­ни­ях (груп­па ко­то­рых ши­ре, чем груп­па аф­фин­ных пре­об­ра­зо­ва­ний). Име­ет­ся 8 про­ек­тив­но эк­ви­ва­лент­ных клас­сов, т. е. ме­ж­ду не­ко­то­ры­ми аф­фин­ны­ми клас­са­ми име­ет­ся про­ек­тив­ная общ­ность. Это свя­за­но с тем, что при про­ек­тив­ных пре­об­ра­зо­ва­ни­ях ис­че­за­ет осо­бая роль бес­ко­неч­но уда­лён­ных эле­мен­тов про­стран­ст­ва. Напр., эл­лип­со­ид и дву­по­ло­ст­ный ги­пер­бо­ло­ид, раз­лич­ные с аф­фин­ной точ­ки зре­ния, при­над­ле­жат од­но­му про­ек­тив­но­му клас­су по­верх­но­стей вто­ро­го по­ряд­ка.

П. в. п. впер­вые пред­став­ле­ны урав­не­ния­ми 2-й сте­пе­ни у Л. Эй­ле­ра (1748), совр. на­зва­ния не­вы­ро­ж­ден­ных П. в. п. да­ны Г. Мон­жем (1801).