ПОВЕ́РХНОСТИ ВТОРО́ГО ПОРЯ́ДКА
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
Книжная версия:
Электронная версия:
ПОВЕ́РХНОСТИ ВТОРО́ГО ПОРЯ́ДКА, множества точек 3-мерного пространства, координаты которых в декартовой системе координат удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz++2a23yz+2a14x+2a24y+2a34z+a44=0. Это уравнение может и не определять действительного геометрич. образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет мнимую П. в. п. Существует прямоугольная система координат, в которой уравнение (*) приводится к одному из следующих канонич. видов, каждому из которых соответствует определённый класс поверхности второго порядка.
Нераспадающиеся поверхности
Невырождающиеся:
эллиптические
1. x2a2+y2b2+z2c2=1 – эллипсоид,
2. x2a2+y2b2+z2c2=−1 – мнимый эллипсоид;
гиперболические
3. x2a2+y2b2−z2c2=1 – однополостный гиперболоид,
4. x2a2+y2b2−z2c2=−1 – двуполостный гиперболоид;
параболические (p>0,q>0)
5. x2p+y2q=2z – эллиптич. параболоид,
6. x2p−y2q=2z – гиперболич. параболоид.
Вырождающиеся:
цилиндрические
7. x2a2+y2b2=1 – эллиптич. цилиндр,
8. x2a2+y2b2=−1 – мнимый эллиптич. цилиндр,
9. x2a2−y2b2=1 – гиперболич. цилиндр,
10. y2=2px – параболич. цилиндр;
конические
11. x2a2+y2b2−z2c2=0 – конус,
12. x2a2+y2b2+z2c2=0 – мнимый конус.
Распадающиеся вырождающиеся поверхности
13. x2a2−y2b2=0 – пара пересекающихся плоскостей,
14. x2a2+y2b2=0 – пара мнимых пересекающихся плоскостей,
15. x2=a2 – пара параллельных плоскостей,
16. x^2=–a^2 – пара мнимых параллельных плоскостей,
17. x^2=0 – пара совпадающих плоскостей.
П. в. п., имеющая единственный центр симметрии (центр П. в. п.), называется центральной П. в. п.; без центра симметрии или с неопределённым центром – нецентральной поверхностью второго порядка.
Среди П. в. п., содержащих хотя бы одну точку, ограниченными являются лишь эллиптические, все остальные неограниченные. Пересечения П. в. п. с плоскостью являются линиями второго порядка.
Исследование вида П. в. п. может быть проведено (таблицы 1 и 2) без приведения уравнения (*) к канонич. виду с помощью т. н. инвариантов П. в. п., составленных из коэффициентов этого уравнения. Основные инварианты: S=a_{11}+a_{22}+a_{33}, \\ T=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}, \\ \delta=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{vmatrix}, \Delta=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34} \\ a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44} \end{vmatrix}.
| Таблица 1. Классификация поверхностей второго порядка по инвариантам | ||||
| Невырождающиеся поверхности | Вырождающиеся поверхности | |||
| \Delta \gt 0 | \Delta \lt 0 | \Delta = 0 | ||
| Центральные поверхности \delta \neq 0 | \delta S\gt 0, T\gt 0 | Мнимый эллипсоид | Эллипсоид | Мнимый конус |
| \delta S \leq 0 и(или) T \leq 0 | Однополостный гиперболоид | Двуполостный гиперболоид | Действительный конус | |
| Нецентральные поверхности \delta = 0 | Гиперболический параболоид | Эллиптический параболоид | Цилиндрические и распадающиеся поверхности (см. табл. 2) | |
| Таблица 2. Цилиндрические и распадающиеся поверхности второго порядка (\Delta=0, \delta=0) | ||||
| T\gt 0 | Цилиндрические поверхности \Delta' \neq 0 | Распадающиеся поверхности \Delta' = 0 | ||
| Эллиптический цилиндр | Пара мнимых пересекающихся плоскостей | |||
| Мнимый \Delta'S \gt 0 | Действительный \Delta'S \lt 0 | |||
| T\lt 0 | Гиперболический цилиндр | Пара пересекающихся плоскостей | ||
| T = 0 | Параболический цилиндр | Пара мнимых параллельных плоскостей \Delta'' \gt 0 | Пара совпадающих плоскостей \Delta'' = 0 | |
| Пара параллельных плоской \Delta'' \lt 0 | ||||
Их значения не меняются при параллельном переносе и повороте системы координат. Используются также семиинварианты (полуинварианты) Δ′ и \Delta″, которые являются инвариантами относительно поворота системы координат:Δ′=Δ_{11}+Δ_{22}+Δ_{33}, где Δ_{ij} – алгебраич. дополнение элемента a_{ij} в Δ; \Delta''=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{14} \\ a_{14} & a_{44} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{22} & a_{24} \\ a_{24} & a_{44} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{33} & a_{34} \\ a_{34} & a_{44} \end{vmatrix}.Их значения не меняются при повороте осей координат. Инварианты П. в. п. определяют П. в. п. с точностью до движений евклидова пространства. Любые две нераспадающиеся П. в. п., инварианты которых соответственно равны, эквивалентны по отношению к группе движения пространства, т. е. могут быть совмещены движением.
По отношению к более широкой, чем группа движений, группе аффинных преобразований эквивалентными являются П. в. п., канонич. уравнения которых совпадают; имеется 17 аффинно эквивалентных классов, канонич. уравнения которых получаются из уравнений 1–17 при a=b=c=1 и 2p=2q=1.
В проективной геометрии эквивалентными являются П. в. п., которые могут быть переведены друг в друга при проективных преобразованиях (группа которых шире, чем группа аффинных преобразований). Имеется 8 проективно эквивалентных классов, т. е. между некоторыми аффинными классами имеется проективная общность. Это связано с тем, что при проективных преобразованиях исчезает особая роль бесконечно удалённых элементов пространства. Напр., эллипсоид и двуполостный гиперболоид, различные с аффинной точки зрения, принадлежат одному проективному классу поверхностей второго порядка.
П. в. п. впервые представлены уравнениями 2-й степени у Л. Эйлера (1748), совр. названия невырожденных П. в. п. даны Г. Монжем (1801).