ЛИ́НИИ ВТОРО́ГО ПОРЯ́ДКА

ЛИ́НИИ ВТОРО́ГО ПОРЯ́ДКА, пло­ские ли­нии, де­кар­то­вы пря­мо­уголь­ные ко­ор­ди­на­ты ко­то­рых удов­ле­тво­ря­ют ал­геб­ра­ич. урав­не­нию 2-го по­ряд­ка с дей­ст­ви­тель­ны­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми $$a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2a_{13}x+ +2a_{23}y+a_{3}3=0,$$ где хо­тя бы од­но из чи­сел $a_{11}$, $a_{12}$ и $a_{22}$ не рав­но ну­лю.

Это урав­не­ние мо­жет и не оп­ре­де­лять дей­ст­ви­тель­но­го гео­мет­рич. об­раза, но для со­хра­не­ния общ­но­сти в та­ких слу­ча­ях го­во­рят, что оно оп­ре­де­ля­ет мни­мую Л. в. п. Урав­не­ние Л. в. п. мо­жет быть пре­об­ра­зо­ва­но с по­мо­щью па­рал­лель­но­го пе­ре­но­са на­ча­ла и по­во­ро­та сис­те­мы ко­ор­ди­нат на не­ко­то­рый угол к од­но­му из де­вя­ти (в за­ви­си­мо­сти от зна­че­ний ко­эф­фи­ци­ен­тов) при­ве­дён­ных ни­же ка­но­нич. ви­дов, ка­ж­до­му из ко­то­рых со­от­вет­ст­ву­ет оп­ре­де­лён­ный класс Л. в. п. Вы­де­ля­ют­ся сле­дую­щие не­рас­па­даю­щие­ся ли­нии: эл­лип­сы $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$$ги­пер­бо­лы$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,$$ па­ра­бо­лы $y^2=2px$, мни­мые эл­лип­сы $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=-1,$$а так­же рас­па­даю­щие­ся ли­нии: па­ры пе­ре­се­каю­щих­ся пря­мых$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0,$$па­ры мни­мых пе­ре­се­каю­щих­ся пря­мых$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0,$$ па­ры па­рал­лель­ных пря­мых $x^2-а^2=0$, па­ры мни­мых па­рал­лель­ных пря­мых $x^2+а^2= 0$, па­ра сов­па­даю­щих па­рал­лель­ных пря­мых $x^2=0$; здесь $a$, $b$ и $p$ – дей­ст­ви­тель­ные чис­ла, не рав­ные ну­лю.

Ис­сле­до­ва­ние Л. в. п. мо­жет быть про­ве­де­но без при­ве­де­ния об­ще­го урав­не­ния к ка­но­нич. ви­ду. Для это­го вво­дят­ся т. н. ин­ва­ри­ан­ты Л. в. п. – вы­ра­же­ния, со­став­лен­ные из ко­эф­фи­ци­ен­тов об­ще­го урав­не­ния Л. в. п., зна­че­ния ко­то­рых не ме­ня­ют­ся при па­рал­лель­ном пе­ре­но­се и по­во­ро­те сис­те­мы ко­ор­ди­нат (ни­же $a_{ij}=a_{ji}$), $$\Delta =\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}, \;\delta =\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix},\; S=a_{11} + a_{22}.$$

Напр., эл­лип­сы, как не­рас­па­даю­щие­ся ли­нии, ха­рак­те­ри­зу­ют­ся тем, что для них $Δ≠ 0$; по­ло­жи­тель­ное зна­че­ние ин­ва­ри­ан­та $δ$ вы­де­ля­ет эл­лип­сы сре­ди др. ти­пов не­рас­па­даю­щих­ся ли­ний (для ги­пер­бол $δ<0$, для па­ра­бол $δ=0$). Раз­ли­чить слу­чаи дей­ст­ви­тель­но­го или мни­мо­го эл­лип­са по­зво­ля­ет со­пос­тав­ле­ние зна­ков ин­ва­ри­ан­тов $Δ$ и $S$: ес­ли $Δ$ и $S$ раз­ных зна­ков, то эл­липс дей­ст­ви­тель­ный, ес­ли $Δ$ и $S$ од­но­го зна­ка, то эл­липс мни­мый.

Три осн. ин­ва­ри­ан­та $Δ$, $δ$ и $S$ оп­ре­де­ля­ют Л. в. п. (кро­ме слу­чая па­рал­лель­ных пря­мых) с точ­но­стью до дви­же­ния евк­ли­до­вой плос­ко­сти: ес­ли со­от­вет­ст­вую­щие ин­ва­ри­ан­ты $Δ$, $δ$ и $S$ двух ли­ний сов­па­да­ют, то та­кие ли­нии мо­гут быть со­вме­ще­ны дви­же­ни­ем. Ины­ми сло­ва­ми, эти ли­нии эк­ви­ва­лент­ны по от­но­ше­нию к груп­пе дви­же­ний плос­ко­сти.

Су­ще­ст­ву­ют клас­си­фи­ка­ции Л. в. п. с ис­поль­зо­ва­ни­ем др. групп пре­об­ра­зо­ва­ний. Так, от­но­си­тель­но бо­лее об­щей, чем груп­па дви­же­ний, груп­пы аф­фин­ных пре­об­ра­зо­ва­ний эк­ви­ва­лент­ны­ми яв­ля­ют­ся лю­бые две ли­нии, оп­ре­де­ляе­мые урав­не­ния­ми од­но­го ка­но­нич. ви­да. Напр., две по­доб­ные Л. в. п. (см. По­до­бие) яв­ля­ют­ся эк­ви­ва­лент­ны­ми. Свя­зи ме­ж­ду разл. аф­фин­ны­ми клас­са­ми Л. в. п. по­зво­ля­ет ус­та­но­вить клас­си­фи­ка­ция с ис­поль­зо­ва­ни­ем про­ек­тив­ной гео­мет­рии.

Кро­ме ана­ли­тич. спо­со­ба оп­ре­де­ле­ния Л. в. п. (с по­мо­щью урав­не­ния), су­ще­ст­ву­ют и др. спо­со­бы. Напр., эл­липс, ги­пер­бо­ла и па­ра­бо­ла мо­гут быть по­лу­че­ны как се­че­ния ко­ну­са плос­ко­стью – ко­ни­че­ские се­че­ния.