ПЕ́ЛЛЯ УРАВНЕ́НИЕ

ПЕ́ЛЛЯ УРАВНЕ́НИЕ, урав­не­ние ви­да $x^2-dy^2=1$ ($d$ – на­ту­раль­ное чис­ло), реше­ния ко­то­ро­го ищут­ся в це­лых чис­лах. Ес­ли $d$ не яв­ля­ет­ся квад­ра­том на­ту­раль­но­го чис­ла, то П. у. име­ет бес­ко­неч­ное мно­же­ст­во ре­ше­ний. Ре­ше­ние $x_0$=1, $y_0$=0 оче­вид­но. Сле­дую­щее ре­ше­ние ($x_1, y_1$) П. у. мож­но най­ти, поль­зу­ясь раз­ло­же­ни­ем чис­ла $\sqrt d$ в не­пре­рыв­ную дробь. Зная ре­ше­ние ($x_1, y_1$), всю со­во­куп­ность ре­ше­ний ($x_n, y_n$) П. у. по­лу­ча­ют из фор­му­лы $$(x_1+y_1\sqrt d)^n=x_n+y_n\sqrt d,\quad n=2, 3, ... .$$

Изу­че­ние П. у. свя­за­но с тео­ри­ей ал­геб­ра­ич. чи­сел. П. у. на­зва­но по име­ни англ. ма­те­ма­ти­ка Дж. Пел­ля (17 в.), ко­то­ро­му Л. Эй­лер по ошиб­ке при­пи­сал один из спо­со­бов ре­ше­ния это­го урав­не­ния. См. так­же Дио­фан­то­вы урав­не­ния.