Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ОРИЕНТА́ЦИЯ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 24. Москва, 2014, стр. 410

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




ОРИЕНТА́ЦИЯ (от франц. orientation, букв. – на­прав­ле­ние на вос­ток, от лат. oriens – вос­ток) в ма­те­ма­ти­ке, обоб­ще­ние по­ня­тия на­прав­ле­ния на пря­мой на бо­лее слож­ные гео­мет­рич. фи­гу­ры.

Ориентация на прямой

Ориентация на прямой (1), на кривой (2–4), на плоскости (5–7), в пространстве (8–12).

Точ­ка мо­жет дви­гать­ся по пря­мой в двух про­ти­во­по­лож­ных на­прав­ле­ни­ях. Напр., на го­ри­зон­таль­ной пря­мой воз­мож­но или дви­же­ние спра­ва на­ле­во, или дви­же­ние сле­ва на­пра­во. Пря­мая вме­сте с ука­за­ни­ем оп­ре­де­лён­но­го на­прав­ле­ния на ней на­зы­ва­ет­ся ори­ен­ти­ро­ван­ной пря­мой (рис., 1).

Ориентация на плоскости

Пусть к.-л. часть плос­ко­сти ог­ра­ни­че­на про­стой замк­ну­той кри­вой (т. е. замк­ну­той кри­вой без крат­ных то­чек). Эту кри­вую мож­но ори­ен­ти­ро­вать дву­мя раз­ны­ми спо­со­ба­ми: про­тив ча­со­вой стрел­ки (рис., 2) или по ча­со­вой стрел­ке (рис., 3). При ори­ен­та­ции кри­вой ори­ен­ти­ру­ет­ся и ог­ра­ни­чен­ная ею часть плос­ко­сти. Две про­стые замк­ну­тые кри­вые на плос­ко­сти счи­та­ют­ся ори­ен­ти­ро­ван­ны­ми оди­на­ко­во, ес­ли при об­хо­де этих кри­вых по ука­зан­ным на­прав­ле­ни­ям ог­ра­ни­чен­ные ими час­ти плос­ко­сти ос­та­ют­ся с од­ной и той же сто­ро­ны от кри­вой (в обо­их слу­ча­ях или спра­ва, или сле­ва). Напр., на рис., 2 и 4 кри­вые ори­ен­ти­ро­ва­ны оди­на­ко­во, а кри­вая на рис., 3 – про­ти­во­по­лож­но им. На плос­ко­сти дос­та­точ­но вы­брать О. од­ной про­стой замк­ну­той кри­вой, что­бы тем са­мым оп­ре­де­ли­лась со­от­вет­ст­вую­щая О. всех ос­таль­ных та­ких кри­вых, ле­жа­щих на той же плос­ко­сти. Плос­кость вме­сте с оп­ре­де­лён­ным вы­бо­ром О. ле­жа­щих на ней про­стых замк­ну­тых кри­вых на­зы­ва­ет­ся ори­ен­ти­ро­ван­ной плос­ко­стью. О. плос­ко­сти мо­жет быть так­же за­да­на при по­мо­щи вы­бо­ра сис­тем де­кар­то­вых ко­ор­ди­нат. Ес­ли на плос­ко­сти вы­бра­ны оси ко­ор­ди­нат $Ox$ и $Oy$ с оп­ре­де­лён­ны­ми по­ло­жи­тель­ны­ми на­прав­ле­ния­ми на них, то это­му вы­бо­ру со­от­вет­ст­ву­ет О. плос­ко­сти, при ко­то­рой ок­руж­ность с цен­тром в на­ча­ле ко­ор­ди­нат ори­ен­ти­ро­ва­на в на­прав­ле­нии от по­ло­жи­тель­но­го на­прав­ле­ния оси $Ox$ к по­ло­жи­тель­но­му на­прав­ле­нию оси $Oy$. Напр., сис­те­мы ко­ор­ди­нат на рис., 5 и 6 оп­ре­де­ля­ют од­ну и ту же О. плос­ко­сти. Сис­те­ма ко­ор­ди­нат на рис., 7 оп­ре­де­ля­ет про­ти­во­по­лож­ную О. плос­ко­сти.

Ко­ор­ди­на­ты $(x,y)$ и $(x',y')$ в двух де­кар­то­вых сис­те­мах ко­ор­ди­нат на плос­ко­сти свя­за­ны со­от­но­ше­ния­ми $$x'=a_{11}x+a_{12}y+b_1,\\ y'=a_{21}x+a_{22}y+b_2,$$где оп­ре­де­ли­тель $$\Delta= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\\ \end{vmatrix} $$от­ли­чен от ну­ля. Сис­те­мы ко­ор­ди­нат $(x,y)$ и $(x',y')$ ори­ен­ти­ро­ва­ны оди­на­ко­во, ес­ли $\Delta \gt 0$, и про­ти­во­по­лож­но, ес­ли $\Delta \lt 0$. Это об­стоя­тель­ст­во мож­но ис­поль­зо­вать для стро­гой ана­ли­тич. тео­рии О. на плос­ко­сти. Мно­же­ст­во $D$ всех де­кар­то­вых сис­тем ко­ор­ди­нат рас­па­да­ет­ся на два под­мно­же­ст­ва $D'$ и $D''$ так, что в пре­де­лах $D'$ (и в пре­де­лах $D''$) все сис­те­мы ко­ор­ди­нат свя­за­ны пре­об­ра­зо­ва­ния­ми с $\Delta \gt 0$, а лю­бая сис­те­ма ко­ор­ди­нат из $D'$ свя­за­на сис­те­мой ко­ор­ди­нат из $D''$ пре­об­ра­зо­ва­ни­ем с $\Delta \lt 0$. Вы­брать О. на плос­ко­сти – это и зна­чит вы­брать од­но из мно­жеств $D'$ или $D''$. Вы­бор О. на плос­ко­сти оп­ре­де­ля­ет знак рас­по­ло­жен­ных на плос­ко­сти уг­лов и пло­ща­дей, ог­ра­ни­чен­ных ори­ен­ти­ро­ван­ны­ми замк­ну­ты­ми кри­вы­ми. Напр., фор­му­ла $$S=\frac{1}{2}\int_C xdy-ydx$$пло­ща­ди $S$, ог­ра­ни­чен­ной замк­ну­той кри­вой $C$, ори­ен­ти­ро­ван­ной в на­прав­ле­нии, ука­зан­ном стрел­кой, в слу­чае пра­вой сис­те­мы ко­ор­ди­нат (рис., 5 и 6) при­ве­дёт к по­ло­жи­тель­ным пло­ща­дям фи­гур на рис., 2 и 4 и к от­ри­ца­тель­ной для фи­гу­ры на рис., 3. На­обо­рот, в ле­вой сис­теме ко­ор­ди­нат (рис., 7) вы­чис­лен­ная по фор­му­ле пло­щадь $S$ фи­гу­ры на рис., 3 бу­дет по­ло­жи­тель­на, а пло­ща­ди фи­гур на рис., 2 и 4 – от­ри­ца­тель­ны.

Ориентация на поверхности

По­доб­но то­му, как вы­ше бы­ла оп­ре­де­ле­на О. плос­ко­сти, мо­жет быть оп­ре­деле­на О. лю­бой по­верх­но­сти, де­ля­щей про­стран­ст­во на две час­ти (напр., сфе­ры). Для это­го рас­смат­ри­ва­ют­ся час­ти по­верх­но­сти, ог­ра­ни­чен­ные про­сты­ми замк­ну­ты­ми ли­ния­ми. Ори­ен­ти­ро­вать та­кую часть по­верх­но­сти – это зна­чит вы­брать оп­ре­де­лён­ную О. ог­ра­ни­чи­ваю­щей её кри­вой. Две час­ти по­верх­но­сти на­зы­ва­ют­ся ори­ен­ти­ро­ван­ны­ми оди­на­ко­во, ес­ли при об­хо­де ог­ра­ни­чи­ваю­щих эти час­ти по­верх­но­сти кри­вых в ука­зан­ных на­прав­ле­ни­ях са­ми час­ти по­верх­но­сти ос­та­ют­ся с од­ной и той же сто­ро­ны. Напр., по­верх­но­сти двух ку­бов на рис., 8 и 9 ори­ен­ти­ро­ва­ны оди­на­ко­во, а по­верх­ность третье­го (рис., 10) – про­ти­во­по­лож­ным об­ра­зом. По­верх­ность вме­сте с оп­ре­де­лён­ной О. час­тей, ог­ра­ни­чен­ных про­сты­ми замк­ну­ты­ми кри­вы­ми, на­зы­ва­ет­ся ори­ен­ти­ро­ван­ной по­верх­но­стью. Не вся­кая по­верх­ность мо­жет быть ори­ен­ти­ро­ва­на. При­ме­ром не­ори­ен­ти­руе­мой по­верх­но­сти яв­ля­ет­ся Мё­биу­са лист; см. так­же Клей­на по­верх­ность. Од­на­ко по­верх­ность, ог­ра­ни­чи­ваю­щая часть про­стран­ст­ва, все­гда при­над­ле­жит к чис­лу ори­ен­ти­руе­мых.

Ориентация пространства

Пусть замк­ну­тая по­верх­ность ог­ра­ни­чи­ва­ет оп­ре­де­лён­ную часть про­стран­ст­ва. Го­во­рят, что та­кая по­верх­ность ори­ен­ти­ро­ва­на пра­вым об­ра­зом, ес­ли час­ти этой по­верх­но­сти, на­блю­дае­мые сна­ру­жи, пред­став­ля­ют­ся ори­ен­ти­ро­ван­ны­ми про­тив ча­со­вой стрел­ки, по­доб­но ку­бам на рис., 8 и 9. На­обо­рот, О. замк­ну­той по­верх­но­сти, ог­ра­ни­чи­ваю­щей часть про­стран­ст­ва, счи­та­ет­ся ле­вой, ес­ли её час­ти ори­ен­ти­ро­ва­ны при на­блю­де­нии сна­ру­жи по ча­со­вой стрел­ке, по­доб­но ку­бу на рис., 10. Вы­бор оп­ре­де­лён­ной О. замк­ну­тых по­верх­но­стей без са­мо­пе­ре­се­че­ний на­зы­ва­ет­ся О. са­мо­го трёх­мер­но­го про­стран­ст­ва. Та­ким об­ра­зом, су­ще­ст­ву­ют две О. трёх­мер­но­го про­стран­ст­ва: пра­вая и ле­вая. О. про­стран­ст­ва мож­но ус­та­но­вить так­же при по­мо­щи вы­бо­ра сис­те­мы де­кар­то­вых ко­ор­ди­нат. Ес­ли вы­бра­ны оси ко­ор­ди­нат $Ox$, $Oy$, $Oz$ с оп­ре­де­лён­ны­ми по­ло­жи­тель­ны­ми на­прав­ле­ния­ми на них, то со­от­вет­ст­вую­щая О. про­стран­ст­ва оп­ре­де­ля­ет­ся сле­дую­щим ус­ло­ви­ем: рас­смат­ри­ва­ет­ся тет­ра­эдр $OABC$ с вер­ши­ной $O$ в на­ча­ле ко­ор­ди­нат и с вер­шина­ми $A$, $B$, $C$ со­от­вет­ст­вен­но на по­ло­жи­тель­ных лу­чах осей $Ox$, $Oy$, $Oz$ (рис., 11, 12), тре­уголь­ник $ABC$, ле­жа­щий на по­верх­но­сти это­го тет­ра­эд­ра, ори­ен­ти­ру­ет­ся в по­ряд­ке $ABC$ (т. е. от оси $Ox$ к оси $Oy$ и за­тем к оси $Oz$); этим оп­ре­де­ля­ет­ся О. по­верх­но­сти тет­ра­эд­ра, а сле­до­ва­тель­но, и са­мо­го про­стран­ст­ва. Вы­бор осей на рис., 11 со­от­вет­ст­ву­ет пра­вой О. про­стран­ст­ва, вы­бор осей на рис., 12 – ле­вой О. про­стран­ст­ва. Так­же са­ми сис­те­мы ко­ор­ди­нат в про­стран­ст­ве раз­де­ля­ют­ся на пра­вые и ле­вые. От вы­бо­ра О. про­стран­ст­ва за­ви­сят зна­ки объ­ё­мов, ог­ра­ни­чен­ных ори­ен­ти­ро­ван­ны­ми по­верх­но­стя­ми, смысл век­тор­но­го про­из­ве­де­ния двух век­то­ров и т. п.

По­ня­тие О. рас­про­стра­ня­ет­ся и на мно­го­мер­ные про­стран­ст­ва.

Вернуться к началу