ОСО́БАЯ ТО́ЧКА

ОСО́БАЯ ТО́ЧКА ана­ли­ти­че­ской функ­ции, пре­пят­ст­вие для ана­ли­ти­че­ско­го про­дол­же­ния эле­мен­та ана­ли­ти­че­ской функ­ции вдоль не­ко­то­ро­го пу­ти. Ка­ж­дая ана­ли­ти­че­ская функ­ция

$f(z)$ ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го $z$ мо­жет быть за­да­на сво­им ре­гу­ляр­ным эле­мен­том, т. е. сте­пен­ным ря­дом $$f(z)=\sum^\infty_{n=0}a_n(z-z_0)^n,$$ пред­став­ляю­щим эту функ­цию в сво­ём кру­ге схо­ди­мо­сти $|z-z_0| \lt R$. Ес­ли ана­ли­тич. про­дол­же­ние это­го эле­мен­та воз­мож­но по всем пу­тям во все точ­ки $z$ ком­плекс­ной плос­ко­сти, вклю­чая и бес­ко­неч­но уда­лён­ную точ­ку $z=\infty$, то функ­ция $f(z)$ не­об­хо­ди­мо яв­ля­ет­ся по­сто­янной. Для не­три­ви­аль­ных ана­ли­тич. функ­ций ха­рак­тер­но на­ли­чие пре­пят­ст­вий для ана­ли­тич. про­дол­же­ния по не­ко­то­рым пу­тям, т. е. О. т. При этом мо­жет слу­чить­ся, что в од­ну и ту же точ­ку $z_0$ ком­плекс­ной плос­ко­сти про­дол­же­ние по не­ко­то­рым пу­тям воз­мож­но, а по дру­гим не­воз­мож­но; в этом слу­чае го­во­рят, что над $z_0$ рас­по­ло­же­ны как пра­виль­ная точ­ка, так и осо­бая точ­ка.

Для од­но­знач­ных эле­мен­тар­ных функ­ций ха­рак­тер­но на­ли­чие изо­ли­ро­ван­ных О. т., т. е. та­ких, для ко­то­рых су­ще­ст­ву­ет ок­ре­ст­ность, сво­бод­ная от дру­гих О. т. При этом ес­ли $z_0$ – изо­ли­ро­ван­ная О. т. и $\lim_{z\to z_0}f(z)=\infty$, то $z_0$ на­зы­ва­ет­ся полю­сом функ­ции $f(z)$. Ес­ли же не су­щест­ву­ет ко­неч­но­го или бес­ко­неч­но­го пре­де­ла $\lim_{z\to z_0}f(z)$, то $z_0$ на­зы­ва­ет­ся су­ще­ст­вен­но осо­бой точ­кой. В слу­чае ко­неч­но­го пре­де­ла $\lim_{z \to z_0}f(z)=A$ ана­ли­тич. про­дол­же­ние в точ­ку $z_0$ воз­мож­но и сле­ду­ет по­ло­жить $f(z_0)=A$; в этом слу­чае $z_0$ ино­гда на­зы­ва­ют уст­ра­ни­мой осо­бой точ­кой.

Ло­ра­на ряд

функ­ции $f(z)$ в ок­ре­ст­но­сти изо­ли­ро­ван­ной О. т. $z_0$  $$f(z)=\sum^\infty_{n=0}a_n(z-z_0)^n+\sum^\infty_{n=1}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}$$ ли­бо со­дер­жит лишь ко­неч­ное чис­ло от­ри­ца­тель­ных сте­пе­ней раз­но­сти $z-z_0$, ес­ли $z_0$ – по­люс (наи­выс­шая сте­пень $\frac{1}{z-z_0}$, встре­чаю­щая­ся в ря­де Ло­ра­на, на­зы­ва­ет­ся по­ряд­ком по­лю­са), ли­бо со­дер­жит сколь угод­но вы­со­кие сте­пе­ни $\frac{1}{z-z_0}$, ес­ли  $z_0$ – су­ще­ст­вен­но осо­бая точ-ка. Напр., для функ­ции $1/z^3$ точ­ка $z=0$ яв­ля­ет­ся по­лю­сом по­ряд­ка 3, а для функ­ции $$\sin \frac{1}{z}=\sum^\infty_{n=0}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!z^{2n+1}}$$ $z_0=0$ – су­ще­ст­вен­но осо­бая точ­ка.

У мно­го­знач­ных ана­ли­тич. функ­ций, по­ми­мо уже опи­сан­ных О. т. од­но­знач­ного характера для однозначных эле­мен­тов этих функ­ций, мо­гут встре­тить­ся изо­ли­ро­ван­ные О. т. мно­го­знач­но­го ха­рак­те­ра или точ­ки ветв­ле­ния. Точ­ки ветв­ле­ния $z_0$ ха­рак­тер­ны тем, что ана­ли­тич. про­дол­же­ние функ­ции $f(z)$ по дос­та­точ­но ма­лым ок­руж­но­стям $|z-z_0|=r$ с цен­тром в $z_0$ при­во­дит к но­вым зна­че­ни­ям $f(z)$, от­лич­ным от ис­ход­но­го. Напр., точ­ка $z_0=0$ яв­ля­ет­ся точ­кой ветв­ле­ния для функ­ций $\sqrt{z}$ и $\text{Ln} z$; при од­но­крат­ном об­хо­де во­круг неё функ­ция $\sqrt{z}$ ме­ня­ет знак, а к зна­че­нию $\text{Ln} z$ при­бав­ля­ет­ся или вы­чи­та­ет­ся $2\pi$ (в за­ви­си­мо­сти от на­прав­ле­ния об­хо­да). Ес­ли по­сле не­ко­то­ро­го ми­ним. чис­ла $m \gt 1$ об­хо­дов точ­ки ветв­ле­ния $z_0$ в од­ном и том же на­прав­ле­нии при­хо­дят к ис­ход­но­му эле­мен­ту, то $z_0$ на­зы­ва­ет­ся точ­кой ветв­ле­ния ко­неч­но­го по­ряд­ка $m-1$ ($z_0=0$ есть точ­ка ветв­ле­ния по­ряд­ка 1 для $\sqrt{z}$). Ес­ли ни при ка­ком чис­ле по­сле­до­ва­тель­ных об­хо­дов нель­зя воз­вра­тить­ся к ис­ход­ному эле­мен­ту, то $z_0$ на­зы­ва­ет­ся ло­га­риф­мич. точ­кой ветв­ле­ния или точ­кой ветв­ле­ния бес­ко­неч­но­го по­ряд­ка (точ­ка $z_0=0$ для функ­ции $\text{Ln} z$).

Ес­ли функ­ция $f(z)$ пред­став­ле­на сте­пен­ным ря­дом, то на гра­ни­це кру­га схо­ди­мо­сти это­го ря­да на­хо­дит­ся по край­ней ме­ре од­на О. т. функ­ции $f(z)$. Мо­жет ока­зать­ся, что все гра­нич­ные точ­ки об­лас­ти су­ще­ст­во­ва­ния од­но­знач­ной ана­ли­тич. функ­ции яв­ля­ют­ся для неё О. т. Так, напр., все точ­ки еди­нич­ной ок­ружно­сти $|z|=1$ яв­ля­ют­ся осо­бы­ми для функ­ции  $$f(z)=z+z^2+z^4+\ldots=\sum^\infty_{n=0}z^{2^n},$$ а са­ма ок­руж­ность $|z|=1$ есть ес­те­ст­вен­ная гра­ни­ца этой функ­ции.

Для (од­но­знач­ных) ана­ли­тич. функ­ций $f(z_1,\ldots,z_n)$ мно­гих ком­плекс­ных пе­ре­мен­ных ха­рак­тер­но пре­ж­де все­го то, что у них не мо­гут су­ще­ст­во­вать изо­ли­ро­ван­ные О. т. При $n \gt 1$ О. т. об­ра­зу­ют не­ко­то­рые не­пре­рыв­ные об­лас­ти.