ОСО́БАЯ ТО́ЧКА
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ОСО́БАЯ ТО́ЧКА аналитической функции, препятствие для аналитического продолжения элемента аналитической функции вдоль некоторого пути. Каждая аналитическая функция $f(z)$ комплексного переменного $z$ может быть задана своим регулярным элементом, т. е. степенным рядом $$f(z)=\sum^\infty_{n=0}a_n(z-z_0)^n,$$представляющим эту функцию в своём круге сходимости $|z-z_0| \lt R$. Если аналитич. продолжение этого элемента возможно по всем путям во все точки $z$ комплексной плоскости, включая и бесконечно удалённую точку $z=\infty$, то функция $f(z)$ необходимо является постоянной. Для нетривиальных аналитич. функций характерно наличие препятствий для аналитич. продолжения по некоторым путям, т. е. О. т. При этом может случиться, что в одну и ту же точку $z_0$ комплексной плоскости продолжение по некоторым путям возможно, а по другим невозможно; в этом случае говорят, что над $z_0$ расположены как правильная точка, так и особая точка.
Для однозначных элементарных функций характерно наличие изолированных О. т., т. е. таких, для которых существует окрестность, свободная от других О. т. При этом если $z_0$ – изолированная О. т. и $\lim_{z\to z_0}f(z)=\infty$, то $z_0$ называется полюсом функции $f(z)$. Если же не существует конечного или бесконечного предела $\lim_{z\to z_0}f(z)$, то $z_0$ называется существенно особой точкой. В случае конечного предела $\lim_{z \to z_0}f(z)=A$ аналитич. продолжение в точку $z_0$ возможно и следует положить $f(z_0)=A$; в этом случае $z_0$ иногда называют устранимой особой точкой.
Лорана ряд функции $f(z)$ в окрестности изолированной О. т. $z_0$ $$f(z)=\sum^\infty_{n=0}a_n(z-z_0)^n+\sum^\infty_{n=1}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}$$либо содержит лишь конечное число отрицательных степеней разности $z-z_0$, если $z_0$ – полюс (наивысшая степень $\frac{1}{z-z_0}$, встречающаяся в ряде Лорана, называется порядком полюса), либо содержит сколь угодно высокие степени $\frac{1}{z-z_0}$, если $z_0$ – существенно особая точ-ка. Напр., для функции $1/z^3$ точка $z=0$ является полюсом порядка 3, а для функции $$\sin \frac{1}{z}=\sum^\infty_{n=0}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!z^{2n+1}}$$$z_0=0$ – существенно особая точка.
У многозначных аналитич. функций, помимо уже описанных О. т. однозначного характера для однозначных элементов этих функций, могут встретиться изолированные О. т. многозначного характера или точки ветвления. Точки ветвления $z_0$ характерны тем, что аналитич. продолжение функции $f(z)$ по достаточно малым окружностям $|z-z_0|=r$ с центром в $z_0$ приводит к новым значениям $f(z)$, отличным от исходного. Напр., точка $z_0=0$ является точкой ветвления для функций $\sqrt{z}$ и $\text{Ln} z$; при однократном обходе вокруг неё функция $\sqrt{z}$ меняет знак, а к значению $\text{Ln} z$ прибавляется или вычитается $2\pi$ (в зависимости от направления обхода). Если после некоторого миним. числа $m \gt 1$ обходов точки ветвления $z_0$ в одном и том же направлении приходят к исходному элементу, то $z_0$ называется точкой ветвления конечного порядка $m-1$ ($z_0=0$ есть точка ветвления порядка 1 для $\sqrt{z}$). Если ни при каком числе последовательных обходов нельзя возвратиться к исходному элементу, то $z_0$ называется логарифмич. точкой ветвления или точкой ветвления бесконечного порядка (точка $z_0=0$ для функции $\text{Ln} z$).
Если функция $f(z)$ представлена степенным рядом, то на границе круга сходимости этого ряда находится по крайней мере одна О. т. функции $f(z)$. Может оказаться, что все граничные точки области существования однозначной аналитич. функции являются для неё О. т. Так, напр., все точки единичной окружности $|z|=1$ являются особыми для функции $$f(z)=z+z^2+z^4+\ldots=\sum^\infty_{n=0}z^{2^n},$$а сама окружность $|z|=1$ есть естественная граница этой функции.
Для (однозначных) аналитич. функций $f(z_1,\ldots,z_n)$ многих комплексных переменных характерно прежде всего то, что у них не могут существовать изолированные О. т. При $n \gt 1$ О. т. образуют некоторые непрерывные области.