ГИПЕРГЕОМЕТРИ́ЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕ́НИЕ

ГИПЕРГЕОМЕТРИ́ ЧЕСКОЕ РАС­ПРЕ­ДЕ­Л Е́НИЕ, рас­пре­де­ле­ние ве­ро­ят­но­стей слу­чай­ной ве­ли­чи­ны $X$, при­ни­маю­щей зна­че­ния $m=0, 1, \ldots, n$ с ве­ро­ят­но­стя­ми $$p_m=\textbf {P}\{ X=m \}=C_M^mC_{N-M}^{n-m}/C_N^n,\,\,\,\,\,(1)$$ где в пра­вой час­ти сто­ят би­но­ми­аль­ные ко­эф­фи­ци­ен­ты, а $M$, $N$, $n$ – на­ту­раль­ные чис­ла и $$M⩽N, n⩽N, \\ \text{max}(0, M+n-N)⩽m⩽\text{min}(n, M).$$ Г. р. по­яв­ля­ет­ся, напр., в свя­зи с вы­бо­ром без воз­вра­ще­ния, а имен­но: фор­му­ла (1) ука­зы­ва­ет ве­ро­ят­ность по­лу­че­ния ров­но $m$ от­ме­чен­ных эле­мен­тов в слу­чай­ной вы­бор­ке объ­ё­ма $n$ из со­во­куп­но­сти, со­дер­жа­щей $N$ эле­мен­тов, сре­ди ко­то­рых $M$ от­ме­чен­ных и $N-M$ не­от­ме­чен­ных.

Ес­ли $M, N \rightarrow \infty$ так, что $M/N \rightarrow p \gt 0$, то для лю­бо­го фик­си­ро­ван­но­го $n$ и $m=0, 1,\ldots, n$ име­ет ме­сто би­но­ми­аль­ное при­бли­же­ние $$p_m \approx C_n^mp^mp^mq^{n-m}.$$ Ма­те­ма­тич. ожи­да­ние Г. р. не за­ви­сит от $N$ и сов­па­да­ет с ма­те­ма­тич. ожи­да­нием $μ=np$ со­от­вет­ст­вую­ще­го би­но­ми­аль­но­го рас­пре­де­ле­ния. Дис­пер­сия Г. р. $σ^2=npq(N-n)/(N-1)$ не пре­вос­хо­дит дис­пер­сии $npq$ би­но­ми­аль­но­го рас­пре­де­ле­ния. Про­из­во­дя­щая функ­ция Г. р. пред­став­ля­ет со­бой ги­пер­гео­мет­ри­че­скую функ­цию $F(α ,β ,γ ;z)$, где $α=–n, β=–M, γ=N-M-n+1$.

Г. р. ис­поль­зу­ет­ся в за­да­чах вы­бо­роч­но­го ста­ти­стич. об­сле­до­ва­ния и ста­ти­стич. приё­моч­но­го кон­тро­ля.