ГАРМОНИ́ЧЕСКИЙ РЯД

ГАРМОНИ́ЧЕСКИЙ РЯД, чи­сло­вой ряд $$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{n}+\ldots \ .$$Ка­ж­дый член Г. р., на­чи­ная со вто­ро­го, яв­ля­ет­ся гар­мо­ни­че­ским сред­ним двух со­сед­них, этим объ­яс­ня­ет­ся на­зва­ние Г. р. При уве­ли­че­нии $n$ чле­ны Г. р. стре­мят­ся к ну­лю, но Г. р. рас­хо­дит­ся, что бы­ло до­ка­за­но Н. Оре­мом (ок. 1350), итал. ма­те­ма­ти­ком П. Мен­го­ли (1650), брать­я­ми И. и Я. Бер­нул­ли в кон. 17 в. и Г. В. Лейб­ни­цем (1673). Л. Эй­ле­ром (1740) бы­ло по­лу­че­но асим­пто­тич. вы­ра­же­ние для сум­мы $s_n$ пер­вых $n $ чле­нов Г. р., $s_n=lnn+C+ε_n,$ где $C=0,5772156649…$ – по­сто­ян­ная Эй­ле­ра, а $ε_n→0 $ при $n→∞$. Обоб­щён­ный Г. р.$$1+\frac{1}{2^{\alpha}}+\frac{1}{3^{\alpha}}+\ldots+\frac{1}{n^{\alpha}}\ldots$$схо­дит­ся при $α>1$ и рас­хо­дит­ся при $α<1$.

Cм. так­же Дзе­та-функ­ция.