ПАДЕ́ АППРОКСИМА́ЦИЯ
-
Рубрика: Математика
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ПАДЕ́ АППРОКСИМА́ЦИЯ, наилучшая рациональная аппроксимация степенного ряда. Пусть $$f(z)=\sum_{k=0}^{\infty} f_kz^k \qquad (*)$$ – произвольный степенной ряд (формальный или сходящийся), $m,n ⩾ 0$ – целые числа, $R_{n,m}$ – класс всех рациональных функций вида $p/q$, где $p$, $q$ – многочлены от $z$, и степени многочленов $\deg q ⩽ m$, $\deg p ⩽ n$, $q \not \equiv 0$. Аппроксимацией Паде типа $(n, m)$ ряда $(*)$ называется рациональная функция $π_{n,m} \in R_{n,m}$, имеющая максимально возможный в классе $R_{n,m}$ порядок касания с рядом $(*)$ в точке $z=0$. Точнее, функция $π_{n,m}$ определяется условием $$σ(f-π_{n,m})=\max \{ σ(f-r):r∈R_{n,m}\},$$где $σ(φ)$ – индекс первого из отличных от нуля коэффициентов ряда $$φ(z)=\sum_{k=0}^{\infty} φ_k z^k.$$ Функцию $π_{n,m}$ можно определить также как отношение $p/q$ любых многочленов $p, q, q=0$, удовлетворяющих соотношениям $$\deg p⩽n, \deg q⩽m, \\ (qf-p)(z)=A_{n,m}z^{n+m+1}+... .$$
При фиксированных $n$, $m$ существует единственная П. а. $π_{n,m}$ ряда $(*)$. Таблица $\{ π_{n,m} \}^∞_{n,m=0}$ называется таблицей Паде ряда $(*)$. Последовательности $\{π_{n,m}\}^∞_{n=0}$ называются строками таблицы Паде (нулевая строка совпадает с последовательностью многочленов Тейлора для $f$), $\{π_{n,m}\}^∞_{m=0}$ – столбцами таблицы Паде, $\{π_{n+j,n}\}^∞_{n=0}$ – диагоналями таблицы Паде. Наиболее важному случаю гл. диагонали соответствует $j=0$.
Вычисление функции $π_{n,m}$ сводится к решению системы линейных уравнений, коэффициенты которых выражаются через коэффициенты $f_k, k=0,1,...,n+m$, заданного ряда. Если отличен от нуля определитель Ганкеля $$\Delta_{n,m}= \begin{vmatrix}f_{n-m+1}&f_{n-m+2}&\dots&f_n\\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ f_n&f_{n+1}&\dots&f_{n+m-1} \end{vmatrix},$$ то знаменатель $q_{n,m}$ функции $π_{n,m}$ определяется по формуле$$q_{n,m}=\frac{1}{\Delta_{n,m}} \begin{vmatrix} & & &f_{n+1} \\ & & &. \\ &\Delta_{n,m}& &. \\ & & &. \\ & & &f_{n+m} \\ z^n&\dots&z&1\\ \end{vmatrix} ,$$ при этом $q_{n,m(0)}=1$. Явная формула может быть выписана и для числителя функции $π_{n,m}$.
Справедливо равенство $$(f-π_{n,m})(z)=A_{n,m}z^{n+m+1}+... .$$ Последнее соотношение иногда принимают в качестве определения П. а.; в этом случае П. а. могут не существовать для некоторых пар $(n, m)$. Для обозначения П. а. типа $(n, m)$ заданного ряда $f$ часто употребляют символ $$[n/m]=[n/m]_f.$$
Для эффективного вычисления П. а. удобнее пользоваться не явными формулами, а реккурентными соотношениями, существующими в таблице Паде. Разработано большое число алгоритмов для машинного вычисления аппроксимаций Паде.
Название П. а. получила по имени франц. математика А. Паде, применявшего её (1892) в рамках классич. теории непрерывных дробей. Частные случаи П. а. изучались начиная с 1820 О. Коши, К. Якоби, Ф. Г. Фробениусом. Фундам. результаты о диагональных П. а. получены П. Л. Чебышевым, А. А. Марковым и Т. Стилтьесом. С нач. 20 в. П. а. стала самостоят. объектом анализа и составляет важную часть теории рациональных приближений аналитич. функций. С помощью П. а., при построении которой используются локальные данные (коэффициенты степенного ряда), можно получать результаты о глобальных свойствах соответствующей аналитич. функции (аналитич. продолжение, характер и расположение особенностей и т. д.) и вычислять значение функции за пределами круга сходимости степенного ряда.