ПАДЕ́ АППРОКСИМА́ЦИЯ

ПАДЕ́ АППРОКСИМА́ЦИЯ, наи­луч­шая ра­цио­наль­ная ап­прок­си­ма­ция сте­пен­но­го ря­да. Пусть $$f(z)=\sum_{k=0}^{\infty} f_kz^k \qquad (*)$$ – про­из­воль­ный сте­пен­ной ряд (фор­маль­ный или схо­дя­щий­ся), $m,n ⩾ 0$ – це­лые чис­ла, $R_{n,m}$ – класс всех ра­цио­наль­ных функ­ций ви­да $p/q$, где $p$, $q$ – мно­го­чле­ны от $z$, и сте­пе­ни мно­го­чле­нов $\deg q ⩽ m$, $\deg p ⩽ n$, $q \not \equiv 0$. Ап­прок­си­ма­ци­ей Па­де ти­па $(n, m)$ ря­да $(*)$ на­зы­ва­ет­ся ра­цио­наль­ная функ­ция $π_{n,m} \in R_{n,m}$, имею­щая мак­си­маль­но воз­мож­ный в клас­се $R_{n,m}$ по­ря­док ка­са­ния с ря­дом $(*)$ в точ­ке $z=0$. Точ­нее, функ­ция $π_{n,m}$ оп­ре­де­ля­ет­ся ус­ло­ви­ем $$σ(f-π_{n,m})=\max \{ σ(f-r):r∈R_{n,m}\},$$где $σ(φ)$ – ин­декс пер­во­го из от­лич­ных от ну­ля ко­эф­фи­ци­ен­тов ря­да $$φ(z)=\sum_{k=0}^{\infty} φ_k z^k.$$ Функ­цию $π_{n,m}$ мож­но оп­ре­де­лить так­же как от­но­ше­ние $p/q$ лю­бых мно­го­членов $p, q, q=0$, удов­ле­тво­ряю­щих со­от­но­ше­ни­ям $$\deg p⩽n, \deg q⩽m, \\ (qf-p)(z)=A_{n,m}z^{n+m+1}+... .$$

При фик­си­ро­ван­ных $n$, $m$ су­ще­ст­ву­ет един­ст­вен­ная П. а. $π_{n,m}$ ря­да $(*)$. Таб­ли­ца $\{ π_{n,m} \}^∞_{n,m=0}$ на­зы­ва­ет­ся таб­ли­цей Па­де ря­да $(*)$. По­сле­до­ва­тель­но­сти $\{π_{n,m}\}^∞_{n=0}$ на­зы­ва­ют­ся стро­ка­ми таб­ли­цы Па­де (ну­ле­вая стро­ка сов­па­да­ет с по­сле­до­ва­тель­но­стью мно­го­чле­нов Тей­ло­ра для $f$), $\{π_{n,m}\}^∞_{m=0}$  – столб­ца­ми таб­ли­цы Па­де, $\{π_{n+j,n}\}^∞_{n=0}$  – диа­го­на­ля­ми таб­ли­цы Па­де. Наи­бо­лее важ­но­му слу­чаю гл. диа­го­на­ли со­от­вет­ст­ву­ет $j=0$.

Вы­чис­ле­ние функ­ции $π_{n,m}$ сво­дит­ся к ре­ше­нию сис­те­мы ли­ней­ных урав­не­ний, ко­эф­фи­ци­ен­ты ко­то­рых вы­ра­жа­ют­ся че­рез ко­эф­фи­ци­ен­ты $f_k, k=0,1,...,n+m$, за­дан­но­го ря­да. Ес­ли от­ли­чен от ну­ля оп­ре­де­ли­тель Ган­ке­ля $$\Delta_{n,m}= \begin{vmatrix}f_{n-m+1}&f_{n-m+2}&\dots&f_n\\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ f_n&f_{n+1}&\dots&f_{n+m-1} \end{vmatrix},$$ то зна­ме­на­тель $q_{n,m}$ функ­ции $π_{n,m}$ оп­реде­ля­ет­ся по фор­му­ле$$q_{n,m}=\frac{1}{\Delta_{n,m}} \begin{vmatrix} & & &f_{n+1} \\ & & &. \\ &\Delta_{n,m}& &. \\ & & &. \\ & & &f_{n+m} \\ z^n&\dots&z&1\\ \end{vmatrix} ,$$ при этом $q_{n,m(0)}=1$. Яв­ная фор­му­ла мо­жет быть вы­пи­са­на и для чис­ли­те­ля функ­ции $π_{n,m}$.

Спра­вед­ли­во ра­вен­ст­во $$(f-π_{n,m})(z)=A_{n,m}z^{n+m+1}+... .$$ По­след­нее со­от­но­ше­ние ино­гда при­ни­ма­ют в ка­че­ст­ве оп­ре­де­ле­ния П. а.; в этом слу­чае П. а. мо­гут не су­ще­ст­во­вать для не­ко­то­рых пар $(n, m)$. Для обо­зна­че­ния П. а. ти­па $(n, m)$ за­дан­но­го ря­да $f$ час­то упот­реб­ля­ют сим­вол $$[n/m]=[n/m]_f.$$

Для эф­фек­тив­но­го вы­чис­ле­ния П. а. удоб­нее поль­зо­вать­ся не яв­ны­ми фор­му­ла­ми, а рек­ку­рент­ны­ми со­от­но­ше­ния­ми, су­ще­ст­вую­щи­ми в таб­ли­це Па­де. Раз­ра­бо­та­но боль­шое чис­ло ал­го­рит­мов для ма­шин­но­го вы­чис­ле­ния ап­прок­си­ма­ций Па­де.

На­зва­ние П. а. по­лу­чи­ла по име­ни франц. ма­те­ма­ти­ка А. Па­де, при­ме­няв­ше­го её (1892) в рам­ках клас­сич. тео­рии не­пре­рыв­ных дро­бей. Ча­ст­ные слу­чаи П. а. изу­ча­лись на­чи­ная с 1820 О. Ко­ши, К. Яко­би, Ф. Г. Фро­бе­ниу­сом. Фун­дам. ре­зуль­та­ты о диа­го­наль­ных П. а. по­лу­че­ны П. Л. Че­бы­ше­вым, А. А. Мар­ко­вым и Т. Стил­ть­е­сом. С нач. 20 в. П. а. ста­ла са­мо­сто­ят. объ­ек­том ана­ли­за и со­став­ля­ет важ­ную часть тео­рии ра­цио­наль­ных при­бли­же­ний ана­ли­тич. функ­ций. С по­мо­щью П. а., при по­строе­нии ко­то­рой ис­поль­зу­ют­ся ло­каль­ные дан­ные (ко­эф­фи­ци­ен­ты сте­пен­но­го ря­да), мож­но по­лу­чать ре­зуль­та­ты о гло­баль­ных свой­ст­вах со­от­вет­ст­вую­щей ана­ли­тич. функ­ции (ана­ли­тич. про­дол­же­ние, ха­рак­тер и рас­по­ло­же­ние осо­бен­но­стей и т. д.) и вы­чис­лять зна­че­ние функ­ции за пре­де­ла­ми кру­га схо­ди­мо­сти сте­пен­но­го ря­да.