НЕПАРАМЕТРИ́ЧЕСКИЕ МЕ́ТОДЫ

НЕПАРАМЕТРИ́ЧЕСКИЕ МЕ́ТОДЫ ма­те­ма­ти­че­ской ста­ти­сти­ки, ме­то­ды, не пред­по­ла­гаю­щие зна­ния функ­цио­наль­но­го ви­да тео­ре­тич. рас­пре­де­ле­ния. На­зва­ние «Н. м.» под­чёр­ки­ва­ет их от­ли­чие от клас­си­че­ских (па­ра­мет­ри­че­ских) ме­то­дов, в ко­то­рых пред­по­ла­га­ет­ся, что не­из­вест­ное тео­ре­тич. рас­пре­де­ле­ние при­над­ле­жит к.-л. се­мей­ст­ву, за­ви­ся­ще­му от ко­неч­но­го чис­ла па­ра­мет­ров (напр., се­мей­ст­ву нор­маль­ных рас­пре­де­ле­ний), и ко­то­рые по­зво­ля­ют по ре­зуль­та­там на­блю­де­ний оце­ни­вать не­из­вест­ные зна­че­ния этих па­ра­мет­ров и про­ве­рять те или иные ги­по­те­зы от­но­си­тель­но их зна­че­ний.

Од­ним из Н. м. яв­ля­ет­ся кри­те­рий Кол­мо­го­ро­ва про­вер­ки со­гла­со­ван­но­сти тео­ре­тич. и эм­пи­рич. рас­пре­де­ле­ний. Пусть вза­им­но не­за­ви­си­мые слу­чай­ные ве­ли­чи­ны $X_1, X_2,\dots, X_n$ (вы­бор­ка объ­ёма $n$) име­ют тео­ре­тич. функ­цию рас­пре­де­ле­ния $F(x)$ и пусть $F_n(x)$ – эм­пи­рич. функ­ция рас­пре­де­ле­ния, по­стро­ен­ная по на­блю­де­ни­ям над эти­ми слу­чай­ны­ми ве­ли­чи­на­ми ($F_n$ яв­ля­ет­ся не­сме­щён­ной и со­стоя­тель­ной оцен­кой для $F$). Пусть $D_n$ – наи­боль­шее по аб­со­лют­ной ве­ли­чи­не зна­че­ние раз­но­сти $F_n(x)-F(x)$. Слу­чай­ная ве­ли­чи­на $\sqrt{n}D_n$ име­ет, в слу­чае не­пре­рыв­но­сти $F(x)$, функ­цию рас­пре­де­ле­ния $K_n(λ)$, не за­ви­ся­щую от $F$ и стре­мя­щую­ся при воз­рас­та­нии $n$ к пре­де­лу $$K(\lambda)=\sum_{j=-\infty}^{\infty}(-1)^je^{-2j^2\lambda^2}.$$

От­сю­да при дос­та­точ­но боль­ших $n$ для ве­ро­ят­но­сти $p_{n,λ}$ не­ра­вен­ст­ва $\sqrt nD_n ⩾ \lambda$ по­лу­ча­ет­ся при­бли­жён­ное вы­ра­же­ние $$p_{n,λ}≈1-K(λ);\tag{*}$$ функ­ция $K(λ)$ та­бу­ли­ро­ва­на. Её зна­че­ния для не­ко­то­рых $λ$ при­ве­де­ны в таб­ли­це.

 

Ра­вен­ст­во $( * )$ ис­поль­зу­ет­ся для про­вер­ки ги­по­те­зы о том, что тео­ре­тич. рас­пре­де­ле­ни­ем яв­ля­ет­ся рас­пре­де­ле­ние с за­дан­ной не­пре­рыв­ной функ­ци­ей рас­преде­ле­ния $F(x)$: сна­ча­ла по ре­зуль­та­там на­блю­де­ний на­хо­дят зна­че­ние ве­ли­чи­ны $D_n$, а за­тем по фор­му­ле $( * )$ вы­чис­ля­ют ве­ро­ят­ность по­лу­чить от­кло­не­ние $F_n$ от $F$, боль­шее или рав­ное на­блю­дён­но­му. Ес­ли ука­зан­ная ве­ро­ят­ность дос­та­точ­но ма­ла, точ­нее – рав­на на­пе­рёд за­дан­но­му ма­ло­му по­ло­жи­тель­но­му чис­лу $α$ (см. Зна­чи­мо­сти уро­вень

), то в со­от­вет­ст­вии с об­щи­ми прин­ци­па­ми ста­ти­сти­че­ских ги­по­тез про­вер­ки

 >>

про­ве­ряе­мую ги­по­те­зу от­вер­га­ют. В про­тив­ном слу­чае счи­та­ют, что ре­зуль­та­ты опы­та не про­ти­во­ре­чат про­ве­ряе­мой ги­по­те­зе. Ана­ло­гич­но про­ве­ря­ет­ся ги­по­те­за о том, что для двух не­за­ви­си­мых вы­бо­рок объ­ё­мов $n_1$ и $n_2$ со­от­вет­ст­вую­щие (не­пре­рыв­ные) тео­ре­тич. функ­ции рас­пре­де­ле­ния оди­на­ко­вы (ги­по­те­за од­но­род­но­сти двух вы­бо­рок). При этом вме­сто фор­му­лы $( * )$ поль­зу­ют­ся тем, что ве­ро­ят­ность не­ра­вен­ст­ва $$D_{n_1,n_2}\sqrt {\frac {n_1n_2}{n_1+n_2}}< \lambda$$ име­ет пре­де­лом $K(λ)$, где $D_{n_1,n_2}$ есть наи­боль­шее по аб­со­лют­ной ве­ли­чи­не зна­че­ние раз­но­сти $F_{n_1}(x) - F_{n_2}(x)$. При­ве­дён­ные при­ме­ры от­но­сят­ся к Н. м., ос­но­ван­ным на раз­но­стях тео­ре­тич. и эм­пи­рич. или двух эм­пи­рич. функ­ций рас­пре­де­ле­ния.

Зна­чит. ме­сто в совр. ма­те­ма­тич. ста­ти­сти­ке за­ни­ма­ют Н. м., в ко­то­рых ис­поль­зу­ют­ся не са­ми эм­пи­рич. функ­ции рас­пре­де­ле­ния, а не­ко­то­рые функ­ции от по­ряд­ко­вых ста­ти­стик – чле­нов ва­риа­ци­он­но­го ря­да

. Ес­ли ис­поль­зу­ют­ся по­ряд­ко­вые но­ме­ра ре­зуль­та­тов на­блю­де­ний (они на­зы­ва­ют­ся ран­га­ми), то та­кие Н. м. на­зы­ва­ют­ся ран­го­вы­ми, они, как пра­ви­ло, яв­ля­ют­ся кри­те­рия­ми од­но­род­но­сти. Напр., пусть $X_1, X_2, \dots, X_n$ и $Y_1, Y_2, \dots, Y_m$ – вза­им­но не­за­ви­си­мые эле­мен­ты двух вы­бо­рок с не­пре­рыв­ны­ми функ­ция­ми рас­пре­де­ле­ния. Для про­вер­ки ги­по­те­зы о том, что эти функ­ции рас­пре­де­ле­ния оди­на­ко­вы, мож­но ис­поль­зо­вать ран­го­вый кри­те­рий, ос­но­ван­ный на зна­че­ни­ях функ­ций $$W=s(r_1)+s(r_2)+\dots.+s(r_m),$$ где $r_j$ – ран­ги слу­чай­ных ве­ли­чин $Y_j,\: j=1, 2, \dots, m$, в об­щем ва­риа­ци­он­ном ря­ду $X_i$ и $Y_j$, а $s(1), s(2), \dots, s(n+m)$ – од­на из воз­мож­ных пе­ре­ста­но­вок чи­сел $1, 2, \dots, n+m$. Вы­бор пе­ре­ста­нов­ки мо­жет быть осу­ще­ст­в­лён оп­ти­маль­ным об­ра­зом.