НЕПАРАМЕТРИ́ЧЕСКИЕ МЕ́ТОДЫ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
НЕПАРАМЕТРИ́ЧЕСКИЕ МЕ́ТОДЫ математической статистики, методы, не предполагающие знания функционального вида теоретич. распределения. Название «Н. м.» подчёркивает их отличие от классических (параметрических) методов, в которых предполагается, что неизвестное теоретич. распределение принадлежит к.-л. семейству, зависящему от конечного числа параметров (напр., семейству нормальных распределений), и которые позволяют по результатам наблюдений оценивать неизвестные значения этих параметров и проверять те или иные гипотезы относительно их значений.
Одним из Н. м. является критерий Колмогорова проверки согласованности теоретич. и эмпирич. распределений. Пусть взаимно независимые случайные величины $X_1, X_2,\dots, X_n$ (выборка объёма $n$) имеют теоретич. функцию распределения $F(x)$ и пусть $F_n(x)$ – эмпирич. функция распределения, построенная по наблюдениям над этими случайными величинами ($F_n$ является несмещённой и состоятельной оценкой для $F$). Пусть $D_n$ – наибольшее по абсолютной величине значение разности $F_n(x)-F(x)$. Случайная величина $\sqrt{n}D_n$ имеет, в случае непрерывности $F(x)$, функцию распределения $K_n(λ)$, не зависящую от $F$ и стремящуюся при возрастании $n$ к пределу$$K(\lambda)=\sum_{j=-\infty}^{\infty}(-1)^je^{-2j^2\lambda^2}.$$
Отсюда при достаточно больших $n$ для вероятности $p_{n,λ}$ неравенства $\sqrt nD_n ⩾ \lambda$ получается приближённое выражение$$p_{n,λ}≈1-K(λ);\tag{*}$$функция $K(λ)$ табулирована. Её значения для некоторых $λ$ приведены в таблице.
| Таблица значений функции Κ(λ) | ||||||
| λ | 0,57 | 0,71 | 0,83 | 1,02 | 1,36 | 1,63 |
| Κ(λ) | 0,10 | 0,30 | 0,50 | 0,75 | 0,95 | 0,99 |
Равенство $( * )$ используется для проверки гипотезы о том, что теоретич. распределением является распределение с заданной непрерывной функцией распределения $F(x)$: сначала по результатам наблюдений находят значение величины $D_n$, а затем по формуле $( * )$ вычисляют вероятность получить отклонение $F_n$ от $F$, большее или равное наблюдённому. Если указанная вероятность достаточно мала, точнее – равна наперёд заданному малому положительному числу $α$ (см. Значимости уровень), то в соответствии с общими принципами статистических гипотез проверки проверяемую гипотезу отвергают. В противном случае считают, что результаты опыта не противоречат проверяемой гипотезе. Аналогично проверяется гипотеза о том, что для двух независимых выборок объёмов $ n_1$ и $n_2$ соответствующие (непрерывные) теоретич. функции распределения одинаковы (гипотеза однородности двух выборок). При этом вместо формулы $( * )$ пользуются тем, что вероятность неравенства$$D_{n_1,n_2}\sqrt {\frac {n_1n_2}{n_1+n_2}}< \lambda$$имеет пределом $K(λ)$, где $D_{n_1,n_2}$ есть наибольшее по абсолютной величине значение разности $F_{n_1}(x) - F_{n_2}(x)$. Приведённые примеры относятся к Н. м., основанным на разностях теоретич. и эмпирич. или двух эмпирич. функций распределения.
Значит. место в совр. математич. статистике занимают Н. м., в которых используются не сами эмпирич. функции распределения, а некоторые функции от порядковых статистик – членов вариационного ряда. Если используются порядковые номера результатов наблюдений (они называются рангами), то такие Н. м. называются ранговыми, они, как правило, являются критериями однородности. Напр., пусть $X_1, X_2, \dots, X_n$ и $Y_1, Y_2, \dots, Y_m$ – взаимно независимые элементы двух выборок с непрерывными функциями распределения. Для проверки гипотезы о том, что эти функции распределения одинаковы, можно использовать ранговый критерий, основанный на значениях функций$$W=s(r_1)+s(r_2)+\dots.+s(r_m),$$где $r_j$ – ранги случайных величин $Y_j,\: j=1, 2, \dots, m$, в общем вариационном ряду $X_i$ и $Y_j$, а $s(1), s(2), \dots, s(n+m)$ – одна из возможных перестановок чисел $1, 2, \dots, n+m$. Выбор перестановки может быть осуществлён оптимальным образом.