ЛАПЛА́СА ПРЕОБРАЗОВА́НИЕ

ЛАПЛА́СА ПРЕОБРАЗОВА́НИЕ, пре­об­ра­зо­ва­ние, пе­ре­во­дя­щее функ­цию $f(t)$ дей­ст­ви­тель­но­го пе­ре­мен­но­го $t,\text{ } 0, на­зы­вае­мую ори­ги­на­лом, в функ­цию $$f(p)=L[f]=\int\limits_0^\infty f(t)e^{-pt}dt\tag1$$ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го $p=σ+iτ$, на­зы­вае­мую изо­бра­же­ни­ем. Под Л. п. по­ни­ма­ют не толь­ко са­мо пре­об­ра­зо­ва­ние, но и его ре­зуль­тат – функ­цию $F(p)$. Ин­те­грал в пра­вой час­ти (1) на­зы­ва­ют ин­те­гра­лом Ла­п­ла­са. Он был рас­смот­рен П. Ла­п­ла­сом в ря­де ра­бот, ко­то­рые объ­е­ди­не­ны в его кни­ге «Ана­ли­ти­че­ская тео­рия ве­ро­ят­но­стей» (1812). Ра­нее та­кие ин­те­гра­лы при­ме­нял к ре­ше­нию диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний Л. Эй­лер (1737).

При не­ко­то­рых ус­ло­ви­ях по Л. п. мож­но од­но­знач­но вос­ста­но­вить функ­цию $f(t)$, в про­стей­ших слу­ча­ях – по фор­му­ле об­ра­ще­ния$$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{-i \infty}^{i \infty}F(p)e^{pt}dp.\tag2$$

Л. п. яв­ля­ет­ся ли­ней­ным функ­цио­наль­ным пре­об­ра­зо­ва­ни­ем. К осн. свой­ст­вам Л. п. от­но­сят­ся ра­вен­ст­ва $$L[f']=pF(p)-f(0),\tag3\\ L[t^nf(t)]=(–1)^nF^{(n)}(p),\text{ } n=1,2,...,\\ L \Big\lbrack\int\limits_0^tf(u)du \Big\rbrack=\frac{F(p)}{p},\text{ }t>0$$

Л. п. в со­че­та­нии с фор­му­лой об­ра­ще­ния (2) при­ме­ня­ет­ся при ре­ше­нии диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний. Так, в си­лу ли­ней­но­сти ото­бра­же­ния (1) и свой­ст­ва (3) Л. п. ре­ше­ния обык­но­вен­но­го ли­ней­но­го диф­фе­рен­ци­аль­но­го урав­не­ния с по­сто­ян­ны­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми удов­ле­тво­ря­ет ал­геб­ра­ич. урав­не­нию пер­во­го по­ряд­ка и мо­жет быть лег­ко най­де­но. Напр., ес­ли да­но урав­не­ние $y″+y=f(t)$ c на­чаль­ны­ми ус­ло­вия­ми $y(0)=y′(0)=0$ и $Y(p)=L[y], \text{ } F(p)=L[f]$, то $L[y″]=p^2Y(p)$ и $p^2Y(p)+Y(p)=F(p)$, что при­во­дит к ра­вен­ст­ву $Y(p)=F(p)/(p^2+1)$.

Совр. об­щая тео­рия Л. п. стро­ит­ся на ос­но­ве ин­тег­ри­ро­ва­ния по Ле­бе­гу. Для при­ме­ни­мо­сти Л. п. к функ­ции $f(t)$ не­об­хо­ди­мо, что­бы $f(t)$ бы­ла ин­тег­ри­руе­ма по Ле­бе­гу на лю­бом ко­неч­ном ин­тер­ва­ле $(0, t),\text{ } t>0$, и ин­те­грал (1) схо­дил­ся хо­тя бы в од­ной точ­ке $p_0=σ_0+iτ_0$. Ес­ли ин­те­грал (1) схо­дит­ся в точ­ке $p_0$, то он схо­дит­ся во всех точ­ках $p$, для ко­то­рых Re $p$>Re $p_0$. Ес­ли ин­те­грал (1) схо­дит­ся хо­тя бы в од­ной точ­ке плос­ко­сти $p_0$, то ли­бо он схо­дит­ся во всей плос­ко­сти, ли­бо су­ще­ст­ву­ет та­кое чис­ло $σ_c$, что при Re $p>σ_c$ ин­те­грал (1) схо­дит­ся, а при Re $p<σ_c$ рас­хо­дит­ся. Чис­ло $σ_c$ на­зы­ва­ет­ся абс­цис­сой схо­ди­мо­сти ин­те­гра­ла Ла­п­ла­са, $F(p)$ яв­ля­ет­ся ана­ли­тич. функ­ци­ей в по­лу­плос­ко­сти Re $p>σ_c$.

С ис­поль­зо­ва­ни­ем Л. п. ре­ша­ют­ся мн. за­да­чи элек­тро­тех­ни­ки, гид­ро­ди­на­ми­ки, ме­ха­ни­ки, те­п­ло­про­вод­но­сти. Л. п. на­шло ши­ро­кое при­ме­не­ние в опе­ра­ци­он­ном ис­чис­ле­нии.