ЛАПЛА́СА ПРЕОБРАЗОВА́НИЕ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
Книжная версия:
Электронная версия:
ЛАПЛА́СА ПРЕОБРАЗОВА́НИЕ, преобразование, переводящее функцию f(t) действительного переменного $t,\text{ } 0, называемую оригиналом, в функцию f(p)=L[f]=∞∫0f(t)e−ptdtкомплексного переменного p=σ+iτ, называемую изображением. Под Л. п. понимают не только само преобразование, но и его результат – функцию F(p). Интеграл в правой части (1) называют интегралом Лапласа. Он был рассмотрен П. Лапласом в ряде работ, которые объединены в его книге «Аналитическая теория вероятностей» (1812). Ранее такие интегралы применял к решению дифференциальных уравнений Л. Эйлер (1737).
При некоторых условиях по Л. п. можно однозначно восстановить функцию f(t), в простейших случаях – по формуле обращенияf(t)=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{-i \infty}^{i \infty}F(p)e^{pt}dp.\tag2
Л. п. является линейным функциональным преобразованием. К осн. свойствам Л. п. относятся равенства L[f']=pF(p)-f(0),\tag3\\ L[t^nf(t)]=(–1)^nF^{(n)}(p),\text{ } n=1,2,...,\\ L \Big\lbrack\int\limits_0^tf(u)du \Big\rbrack=\frac{F(p)}{p},\text{ }t>0
Л. п. в сочетании с формулой обращения (2) применяется при решении дифференциальных уравнений. Так, в силу линейности отображения (1) и свойства (3) Л. п. решения обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами удовлетворяет алгебраич. уравнению первого порядка и может быть легко найдено. Напр., если дано уравнение y″+y=f(t) c начальными условиями y(0)=y′(0)=0 и Y(p)=L[y], \text{ } F(p)=L[f], то L[y″]=p^2Y(p) и p^2Y(p)+Y(p)=F(p), что приводит к равенству Y(p)=F(p)/(p^2+1).
Совр. общая теория Л. п. строится на основе интегрирования по Лебегу. Для применимости Л. п. к функции f(t) необходимо, чтобы f(t) была интегрируема по Лебегу на любом конечном интервале (0, t),\text{ } t>0, и интеграл (1) сходился хотя бы в одной точке p_0=σ_0+iτ_0. Если интеграл (1) сходится в точке p_0, то он сходится во всех точках p, для которых Re p>Re p_0. Если интеграл (1) сходится хотя бы в одной точке плоскости p_0, то либо он сходится во всей плоскости, либо существует такое число σ_c, что при Re p>σ_c интеграл (1) сходится, а при Re p<σ_c расходится. Число σ_c называется абсциссой сходимости интеграла Лапласа, F(p) является аналитич. функцией в полуплоскости Re p>σ_c.
С использованием Л. п. решаются мн. задачи электротехники, гидродинамики, механики, теплопроводности. Л. п. нашло широкое применение в операционном исчислении.