ЛАГЕ́РРА МНОГОЧЛЕ́НЫ

ЛАГЕ́РРА МНОГОЧЛЕ́НЫ (Че­бы­ше­ва – Ла­гер­ра мно­го­чле­ны), мно­го­чле­ны, ор­то­го­наль­ные на ин­тер­ва­ле $(0, ∞)$ с ве­со­вой функ­ци­ей $h(x)=x^αe^{–x}$, где $α>–1$. Л. м. оп­ре­де­ля­ют­ся фор­му­лой $$L_n=(x;\alpha)=(-1)^n\frac{x^{-\alpha}e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^{\alpha+n}t^{-x}),\text{ }n=0,\text{ }1,\text{ }2,\text{ } \dots$$При $α=0$ Л. м. впер­вые встре­ча­ют­ся у Ж. Ла­гран­жа (1788). На­ча­ло сис­те­ма­тич. изу­че­нию этих мно­го­чле­нов по­ло­жил П. Л. Че­бы­шев (1859), пер­вая ра­бо­та Э. Ла­гер­ра от­но­сит­ся к 1879 го­ду. При $α>–1$ многочлены рассматривал Ю. В. Со­хоц­кий (1873).

Ес­ли функ­ция $f(x)$ не­пре­рыв­но диф­фе­рен­ци­руе­ма на ин­тер­ва­ле $(0, ∞)$, ин­тег­ри­руе­ма на этом ин­тер­ва­ле с ве­сом $h(x)=x^αe^{–x}$, то при не­ко­то­рых до­пол­ни­тель­ных ус­ло­ви­ях эта функ­ция раз­ла­га­ет­ся в ряд Фу­рье по Л. м., то есть $$f(x)=\sum\limits^\infty_{n=0}a_n(\alpha)L_n(x;\alpha),x \in (0,\infty)$$ где ко­эф­фи­ци­ен­ты Фу­рье – Ла­гер­ра оп­ре­де­ля­ют­ся фор­му­лой $$a_n(\alpha)=\frac{n!}{\Gamma(n+a+1)}\int \limits^\infty_{n=0}x^\alpha e^{-x}f(x)L_n(x;\alpha)dx,\text{ } n=0,\text{ } 1,\text{ } 2, ...$$Л. м. при­ме­ня­ют­ся в вы­чис­лит. ма­те­ма­ти­ке и ма­те­ма­тич. фи­зи­ке.