ЛАГЕ́РРА МНОГОЧЛЕ́НЫ
-
Рубрика: Математика
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ЛАГЕ́РРА МНОГОЧЛЕ́НЫ (Чебышева – Лагерра многочлены), многочлены, ортогональные на интервале $(0, ∞)$ с весовой функцией $h(x)=x^αe^{–x}$, где $α>–1$. Л. м. определяются формулой $$L_n=(x;\alpha)=(-1)^n\frac{x^{-\alpha}e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^{\alpha+n}t^{-x}),\text{ }n=0,\text{ }1,\text{ }2,\text{ } \dots$$При $α=0$ Л. м. впервые встречаются у Ж. Лагранжа (1788). Начало систематич. изучению этих многочленов положил П. Л. Чебышев (1859), первая работа Э. Лагерра относится к 1879 году. При $α>–1$ многочлены рассматривал Ю. В. Сохоцкий (1873).
Если функция $f(x)$ непрерывно дифференцируема на интервале $(0, ∞)$, интегрируема на этом интервале с весом $h(x)=x^αe^{–x}$, то при некоторых дополнительных условиях эта функция разлагается в ряд Фурье по Л. м., то есть $$f(x)=\sum\limits^\infty_{n=0}a_n(\alpha)L_n(x;\alpha),x \in (0,\infty)$$ где коэффициенты Фурье – Лагерра определяются формулой $$a_n(\alpha)=\frac{n!}{\Gamma(n+a+1)}\int \limits^\infty_{n=0}x^\alpha e^{-x}f(x)L_n(x;\alpha)dx,\text{ } n=0,\text{ } 1,\text{ } 2, ...$$Л. м. применяются в вычислит. математике и математич. физике.