ИНТЕГРА́ЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВА́НИЕ

ИНТЕГРА́ЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВА́НИЕ, функ­цио­наль­ное пре­об­ра­зо­ва­ние ви­да $$F(x)=\int\limits_{C}k(x,t)f(t)dt,$$

где $C$ – ко­неч­ный или бес­ко­неч­ный кон­тур в ком­плекс­ной плос­ко­сти, $K(x, t)$ – яд­ро И. п. Наи­бо­лее час­то рас­смат­ри­ва­ют­ся И. п., для ко­то­рых $K(x, t)=K(xt)$ и $C$ – дей­ст­ви­тель­ная ось или её часть $(a, b)$. Если $-\infty{<} a, b {<}\infty$, то И. п. на­зы­ва­ет­ся ко­неч­ным. При $K(x, t)=K(x-t)$ И. п. на­зы­ва­ет­ся И. п. ти­па свёрт­ки. Ес­ли $x$ и $t$ – точ­ки $n$-мер­но­го про­стран­ст­ва, а ин­тег­ри­ро­ва­ние ве­дёт­ся по об­лас­ти это­го про­стран­ст­ва, то И. п. на­зы­ва­ет­ся мно­го­мер­ным. Ис­поль­зу­ют­ся так­же дис­крет­ные И. п. ви­да $$F(n)=\int\limits_{C}G_n(t)f(t)dt,$$C

где $n=0, 1, 2,...,$ а ${G_n(t)}$ – не­ко­то­рая сис­те­ма функ­ций, напр. Яко­би мно­го­члены­. Фор­му­лы, по­зво­ляю­щие вос­ста­но­вить функ­цию $f(t)$ по из­вест­ной функ­ции $F(x)$, на­зы­ва­ют­ся фор­му­ла­ми об­ра­ще­ния. И. п. оп­ре­де­ле­ны так­же для обоб­щён­ных функ­ций (рас­пре­де­ле­ний).

И. п. ши­ро­ко ис­поль­зу­ют­ся в ма­те­ма­ти­ке и её при­ло­же­ни­ях, в ча­ст­но­сти при ре­ше­нии диф­фе­рен­ци­аль­ных и ин­те­граль­ных урав­не­ний ма­те­ма­тич. фи­зи­ки. Наи­бо­лее важ­ны­ми для тео­рии и при­ло­же­ний яв­ля­ют­ся Фу­рье пре­об­ра­зо­ва­ние, Ла­п­ла­са пре­об­ра­зо­ва­ние, пре­об­ра­зо­ва­ние Мел­ли­на.

При­ме­ра­ми И. п. яв­ля­ют­ся пре­об­ра­зо­ва­ние Стил­ть­е­са $$F(x)=\int\limits_0^\infty(x+t)^{-ρ}f(t)dt;$$ дроб­ный ин­те­грал $$f(x)=\int\limits_0^x\frac{(x-t)^{α-1}}{Γ(α)}f(t)dt;$$ пре­об­ра­зо­ва­ние Ве­бе­ра $$F(u, a)=\int\limits_a^{\infty}c_ν(tu, au)tf(t)dt, a⩽t<\infty,$$ где $c_ν(α ,b)=J_ν(α)Y_ν(β)-Y_ν(α)J_ν(β), J_ν(x),Y_ν(x)$ – ци­лин­д­рич. функ­ции 1-го и 2-го ро­да. Фор­му­ла об­ра­ще­ния для пре­об­ра­зо­ва­ния Ве­бе­ра име­ет вид $$f(x)=\int\limits_0^{\infty}\frac{c_ν(xu, au)}{J_ν^2(au)+Y_ν^2(au)}uF(u,a)du.$$При $a→0$ пре­об­ра­зо­ва­ние Ве­бе­ра пе­ре­хо­дит в пре­об­ра­зо­ва­ние Ган­ке­ля $$F(x)=\int\limits_0^{\infty}\sqrt{xt}J_ν(xt)f(t)dt,$$ $$0{<}x{<}∞.$$При $ν=±1/2$ это пре­об­ра­зо­ва­ние сво­дит­ся к си­нус- и ко­си­нус-пре­об­ра­зо­ва­ни­ям Фу­рье.

При­ме­ром пре­об­ра­зо­ва­ния свёрт­ки яв­ля­ет­ся пре­об­ра­зо­ва­ние Вей­ер­шт­рас­са $$F(x)=\frac{1}{\sqrt{4}π}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\text{exp}[-(x-t)^2/4]f(t)dt.$$

Пре­об­ра­зо­ва­ни­ем Бох­не­ра на­зы­ва­ет­ся пре­об­ра­зо­ва­ние $$[Tf](r)=2πr^{1-n/2}\int\limits_0^{\infty}J_{n/2-1}(2πrρ)ρ^{n/2}f(ρ)dp,$$ где $J_ν(x)$ – ци­лин­д­рич. функ­ция 1-го ро­да по­ряд­ка $ν, ρ$ – рас­стоя­ние в ${\bf R}^n$.

Пре­об­ра­зо­ва­ние$$F(n)=\int\limits_{-1}^1P_n(t)f(t)dt,$$ где ${Pn(t)}$ – Ле­жан­д­ра мно­го­чле­ны, на­зы­ва­ет­ся пре­об­ра­зо­ва­ни­ем Ле­жан­д­ра.