ДИРИХЛЕ́ ИНТЕГРА́Л
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ДИРИХЛЕ́ ИНТЕГРА́Л, общее название интегралов нескольких типов.
Интеграл $$\int_0^\infty{{\frac{\sin\alpha x}{x} \cos\beta xdx}}= \left\{ \begin{array}{ll} \pi/2 \textsf{ при }\beta<\alpha\textrm{,}\\ \pi/4\textsf{ при }\beta=\alpha & \qquad(1)\\0\textsf { при }\beta>\alpha\textrm{} \end{array} \right.$$ называется Д. и., а также разрывным множителем Дирихле. Он является разрывной функцией от параметров $α>0$ и $β>0$. П. Дирихле использовал интеграл (1) в исследованиях о притяжении эллипсоидов (1839). Этот интеграл встречался ранее у Ж. Фурье, С. Пуассона и А. Лежандра.
Интеграл $$s_n(x)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi{f(x+t)D_n(t)dt},$$ где $$D_n(t)=\frac{\sin(n+1/2)t}{2\sin t/2},$$ есть т. н. ядро Дирихле, также называется Д. и., он равен $n$-й частичной сумме ряда Фурье функции $f$, т. е. $$s_n(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\nolimits^n_{k=1}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)$$где $a_k, b_k, k=1, 2, ...,$ – Фурье коэффициенты функции $f$. Эта формула является одной из важнейших формул теории рядов Фурье; в частности, она позволила П. Дирихле установить, что ряд Фурье функции, имеющей конечное число максимумов и минимумов, сходится в каждой точке (1829).
Интеграл $$\iiint_G \Biggl ( \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right )^2+\left( \frac {\partial u}{\partial y} \right )^2+\left( \frac{\partial u}{\partial z}\right)^2\Biggr)dxdydz\qquad (2)$$также называется Д. и. Он используется в теории гармонических функций в т. н. принципе Дирихле, который состоит в том, что при достаточно широких условиях среди всех функций $u$, принимающих заданное значение на границе области $G$, функция, для которой интеграл (2) достигает наименьшего значения, является гармонической в этой области.