ДИРИХЛЕ́ ИНТЕГРА́Л

ДИРИХЛЕ́ ИНТЕГРА́Л, об­щее на­зва­ние ин­те­гра­лов не­сколь­ких ти­пов.

Ин­те­грал  $$\int_0^\infty{{\frac{\sin\alpha x}{x} \cos\beta xdx}}= \left\{ \begin{array}{ll} \pi/2 \textsf{ при }\beta<\alpha\textrm{,}\\ \pi/4\textsf{ при }\beta=\alpha & \qquad(1)\\0\textsf { при }\beta>\alpha\textrm{} \end{array} \right.$$ на­зы­ва­ет­ся Д. и., а так­же раз­рыв­ным мно­жи­те­лем Ди­рих­ле. Он яв­ля­ет­ся раз­рыв­ной функ­ци­ей от па­ра­мет­ров $α>0$ и $β>0$. П. Ди­рих­ле

ис­поль­зо­вал ин­те­грал (1) в ис­сле­до­ва­ни­ях о при­тя­же­нии эл­лип­сои­дов (1839). Этот ин­те­грал встре­чал­ся ра­нее у Ж. Фу­рье

 >>

, С. Пу­ас­со­на

 >>

и А. Ле­жан­д­ра

 >>

.

Ин­те­грал  $$s_n(x)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi{f(x+t)D_n(t)dt},$$  где  $$D_n(t)=\frac{\sin(n+1/2)t}{2\sin t/2},$$  есть т. н. яд­ро Ди­рих­ле, так­же на­зы­ва­ет­ся Д. и., он ра­вен $n$-й час­тич­ной сум­ме ря­да Фу­рье функ­ции $f$, т. е. $$s_n(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\nolimits^n_{k=1}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)$$ где $a_k, b_k, k=1, 2, ...,$ – Фу­рье ко­эф­фи­ци­ен­ты

 функ­ции $f$. Эта фор­му­ла яв­ля­ет­ся од­ной из важ­ней­ших фор­мул тео­рии ря­дов Фу­рье; в ча­ст­но­сти, она по­зво­ли­ла П. Ди­рих­ле ус­та­но­вить, что ряд Фу­рье функ­ции, имею­щей ко­неч­ное чис­ло мак­си­му­мов и ми­ни­му­мов, схо­дит­ся в ка­ж­дой точ­ке (1829).

Интеграл $$\iiint_G \Biggl ( \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right )^2+\left( \frac {\partial u}{\partial y} \right )^2+\left( \frac{\partial u}{\partial z}\right)^2\Biggr)dxdydz\qquad (2)$$ так­же на­зы­ва­ет­ся Д. и. Он ис­поль­зу­ет­ся в тео­рии гар­мо­ни­че­ских функ­ций

в т. н. прин­ци­пе Ди­рих­ле, ко­то­рый со­сто­ит в том, что при дос­та­точ­но ши­ро­ких ус­ло­ви­ях сре­ди всех функ­ций $u$, при­ни­маю­щих за­дан­ное зна­че­ние на гра­ни­це об­лас­ти $G$, функ­ция, для ко­то­рой ин­те­грал (2) дос­ти­га­ет наи­мень­ше­го зна­че­ния, яв­ля­ет­ся гар­мо­ни­че­ской в этой об­лас­ти.