ДИОФА́НТОВЫ ПРИБЛИЖЕ́НИЯ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
Книжная версия:
Электронная версия:
ДИОФА́НТОВЫ ПРИБЛИЖЕ́НИЯ, раздел теории чисел, в котором изучаются приближения действительных чисел рациональными или, при более широком понимании, вопросы, относящиеся к решению в целых числах линейных и нелинейных неравенств или систем неравенств. Название «Д. п.» связано с именем Диофанта, который занимался задачей решения алгебраич. уравнений в целых числах – т. н. диофантовых уравнений. Один из методов теории Д. п. основан на использовании непрерывных дробей. Для приближений действительного числа α т. н. подходящими дробями pk/qk разложения α в непрерывную дробь справедливы неравенства ∣α-p_k/q_k∣<1/q_k^2, k=1, 2, ..., с другой стороны, если несократимая дробь a/b удовлетворяет неравенству ∣α-a/b∣<1/2b^2, то она является подходящей дробью разложения α в непрерывную дробь. Существуют обобщения задачи о приближении числа рациональными дробями; к ним прежде всего относится задача об изучении выражений xθ-y-α, где θ и α – некоторые действительные числа, а x и y принимают целые значения (т. н. неоднородная одномерная задача). Среди теорем о приближённом решении в целых числах систем линейных уравнений (многомерные задачи Д. п.) известна теорема Кронекера: если α_1, …, α_n – действительные числа, для которых равенство a_1α_1+…+a_nα_n=0 с целыми a_1, …, a_n возможно лишь при a_1=…=a_n=0, а β_1, …, β_n – некоторые действительные числа, то при любом заданном ε> 0 можно найти число t и такие целые числа x_1, …, x_n, что выполняются неравенства ∣tα_k-β_k-x_k∣<ε, k=1, 2, …, n. В теории Д. п. важное значение имеет её связь с геометрией. В кон. 19 в. Г. Минковский доказал ряд геометрич. теорем, имеющих приложения в теории диофантовых приближений.
В вопросах нелинейных Д. п. важные результаты получил И. М. Виноградов. Одна из задач теории Д. п. – проблема приближения алгебраич. чисел рациональными. Существенные результаты здесь принадлежат А. Туэ, К. Зигелю, англ. математику К. Ф. Роту и амер. математику В. М. Шмидту.
К Д. п. относятся некоторые теории трансцендентных чисел, в которых получены оценки для модулей линейных форм и многочленов с целыми коэффициентами от одного или нескольких переменных. Теория Д. п. тесно связана с разл. задачами аналитич. теории чисел.