ДИОФА́НТОВЫ ПРИБЛИЖЕ́НИЯ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
Книжная версия:
Электронная версия:
ДИОФА́НТОВЫ ПРИБЛИЖЕ́НИЯ, раздел теории чисел, в котором изучаются приближения действительных чисел рациональными или, при более широком понимании, вопросы, относящиеся к решению в целых числах линейных и нелинейных неравенств или систем неравенств. Название «Д. п.» связано с именем Диофанта, который занимался задачей решения алгебраич. уравнений в целых числах – т. н. диофантовых уравнений. Один из методов теории Д. п. основан на использовании непрерывных дробей. Для приближений действительного числа α т. н. подходящими дробями pk/qk разложения α в непрерывную дробь справедливы неравенства ∣α−pk/qk∣<1/q2k,k=1,2,..., с другой стороны, если несократимая дробь a/b удовлетворяет неравенству ∣α−a/b∣<1/2b2, то она является подходящей дробью разложения α в непрерывную дробь. Существуют обобщения задачи о приближении числа рациональными дробями; к ним прежде всего относится задача об изучении выражений xθ−y−α, где θ и α – некоторые действительные числа, а x и y принимают целые значения (т. н. неоднородная одномерная задача). Среди теорем о приближённом решении в целых числах систем линейных уравнений (многомерные задачи Д. п.) известна теорема Кронекера: если α1,…,αn – действительные числа, для которых равенство a1α1+…+anαn=0 с целыми a1,…,an возможно лишь при a1=…=an=0, а β1,…,βn – некоторые действительные числа, то при любом заданном ε>0 можно найти число t и такие целые числа x1,…,xn, что выполняются неравенства ∣tαk−βk−xk∣<ε,k=1,2,…,n. В теории Д. п. важное значение имеет её связь с геометрией. В кон. 19 в. Г. Минковский доказал ряд геометрич. теорем, имеющих приложения в теории диофантовых приближений.
В вопросах нелинейных Д. п. важные результаты получил И. М. Виноградов. Одна из задач теории Д. п. – проблема приближения алгебраич. чисел рациональными. Существенные результаты здесь принадлежат А. Туэ, К. Зигелю, англ. математику К. Ф. Роту и амер. математику В. М. Шмидту.
К Д. п. относятся некоторые теории трансцендентных чисел, в которых получены оценки для модулей линейных форм и многочленов с целыми коэффициентами от одного или нескольких переменных. Теория Д. п. тесно связана с разл. задачами аналитич. теории чисел.