ДИОФА́НТОВЫ ПРИБЛИЖЕ́НИЯ

ДИОФА́НТОВЫ ПРИБЛИЖЕ́НИЯ, раз­дел тео­рии чи­сел, в ко­то­ром изу­ча­ют­ся при­бли­же­ния дей­ст­ви­тель­ных чи­сел ра­цио­наль­ны­ми или, при бо­лее ши­ро­ком по­ни­ма­нии, во­про­сы, от­но­ся­щие­ся к ре­ше­нию в це­лых чис­лах ли­ней­ных и не­ли­ней­ных не­ра­венств или сис­тем не­ра­венств. На­зва­ние «Д. п.» свя­за­но с име­нем Дио­фан­та, ко­то­рый за­ни­мал­ся за­да­чей ре­ше­ния ал­геб­ра­ич. урав­не­ний в це­лых чис­лах – т. н. дио­фан­то­вых урав­не­ний. Один из ме­то­дов тео­рии Д. п. ос­но­ван на ис­поль­зо­ва­нии не­пре­рыв­ных дро­бей. Для при­бли­же­ний дей­ст­ви­тель­но­го чис­ла α т. н. под­хо­дя­щи­ми дро­бями $p_k/q_k$ раз­ло­же­ния α в не­пре­рыв­ную дробь справед­ли­вы не­ра­вен­ст­ва $∣α-p_k/q_k∣<1/q_k^2, k=1, 2, ...,$ с дру­гой сто­ро­ны, ес­ли не­со­кра­ти­мая дробь $a/b$ удов­ле­тво­ря­ет не­ра­вен­ст­ву $∣α-a/b∣<1/2b^2$, то она яв­ля­ет­ся под­хо­дя­щей дро­бью раз­ло­же­ния $α$ в не­пре­рыв­ную дробь. Су­ще­ст­ву­ют об­об­ще­ния за­да­чи о при­бли­же­нии чис­ла ра­цио­наль­ны­ми дро­бя­ми; к ним пре­ж­де все­го от­но­сит­ся за­да­ча об изу­че­нии вы­ра­же­ний $xθ-y-α$, где $θ$ и $α$ – не­ко­то­рые дей­ст­ви­тель­ные чис­ла, а $x$ и $y$ при­ни­ма­ют це­лые зна­че­ния (т. н. не­од­но­род­ная од­но­мер­ная за­да­ча). Сре­ди тео­рем о при­бли­жён­ном ре­ше­нии в це­лых чис­лах сис­тем ли­ней­ных урав­не­ний (мно­го­мер­ные за­да­чи Д. п.) из­вест­на тео­ре­ма Кро­не­ке­ра: ес­ли $α_1, …, α_n$ – дей­ст­ви­тель­ные чис­ла, для ко­то­рых ра­вен­ст­во $a_1α_1+…+a_nα_n=0$ с це­лы­ми $a_1, …, a_n$ воз­мож­но лишь при $a_1=…=a_n=0$, а $β_1, …, β_n$ – не­ко­то­рые дей­ст­ви­тель­ные чис­ла, то при лю­бом за­дан­ном $ε> 0$ мож­но най­ти чис­ло $t$ и та­кие це­лые чис­ла $x_1, …, x_n$, что вы­пол­ня­ют­ся не­ра­вен­ст­ва $∣tα_k-β_k-x_k∣<ε, k=1, 2, …, n$. В тео­рии Д. п. важ­ное зна­че­ние име­ет её связь с гео­мет­ри­ей. В кон. 19 в. Г. Мин­ков­ский до­ка­зал ряд гео­мет­рич. тео­рем, имею­щих при­ло­же­ния в тео­рии дио­фан­то­вых при­бли­же­ний.

В во­про­сах не­ли­ней­ных Д. п. важ­ные ре­зуль­та­ты по­лу­чил И. М. Ви­но­гра­дов. Од­на из за­дач тео­рии Д. п. – про­бле­ма при­бли­же­ния ал­геб­ра­ич. чи­сел ра­цио­наль­ны­ми. Су­ще­ст­вен­ные ре­зуль­та­ты здесь при­над­ле­жат А. Туэ, К. Зи­ге­лю, англ. ма­те­ма­ти­ку К. Ф. Ро­ту и амер. ма­те­ма­ти­ку В. М. Шмид­ту.

К Д. п. от­но­сят­ся не­ко­то­рые тео­рии транс­цен­дент­ных чи­сел, в ко­то­рых по­лу­че­ны оцен­ки для мо­ду­лей ли­ней­ных форм и мно­го­чле­нов с це­лы­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми от од­но­го или не­сколь­ких пе­ре­мен­ных. Тео­рия Д. п. тес­но свя­за­на с разл. за­да­ча­ми ана­ли­тич. тео­рии чи­сел.