ДЕСКРИПТИ́ВНАЯ ТЕО́РИЯ МНО́ЖЕСТВ

ДЕСКРИПТИ́ВНАЯ ТЕО́РИЯ МНО́ЖЕСТВ, раз­дел мно­жеств тео­рии, изу­чаю­щий строе­ние то­чеч­ных мно­жеств ис­хо­дя из их по­строе­ния с по­мо­щью опе­ра­ций объ­еди­не­ния, пе­ре­се­че­ния, про­ек­ции и пр. из бо­лее про­стых то­чеч­ных мно­жеств. Раз­ви­тие Д. т. м. на­ча­лось с изу­че­ния и клас­си­фи­ка­ции т. н. бо­ре­лев­ских мно­жеств (В-мно­жеств) в тру­дах франц. ма­те­ма­ти­ков Р. Бэ­ра и А. Ле­бе­га, свя­зан­ных с клас­си­фи­ка­ци­ей раз­рыв­ных функ­ций (1905). Бо­ре­лев­ские мно­же­ст­ва оп­ре­де­ля­ют­ся как мно­же­ст­ва, ко­то­рые мо­гут быть по­строе­ны, ис­хо­дя из замк­ну­тых мно­жеств, при­ме­не­ни­ем опе­ра­ций объ­е­ди­не­ния и пе­ре­се­че­ния в лю­бых ком­би­на­ци­ях, но ка­ж­дый раз эти опе­ра­ции при­ме­ня­ют­ся к счёт­но­му или ко­неч­но­му чис­лу мно­жеств. Ле­бег по­ка­зал, что эти мно­же­ст­ва, и толь­ко они, мо­гут быть по­лу­че­ны как мно­же­ст­ва точек, в ко­то­рых вхо­дя­щая в клас­си­фика­цию Бэ­ра дей­ст­вит. функ­ция f(x) об­ра­ща­ет­ся в нуль или, бо­лее об­що, удов­ле­тво­ря­ет ус­ло­вию ви­да a < f(x) ≤ b. Даль­ней­шее раз­ви­тие Д. т. м. бы­ло осу­ще­ст­в­ле­но пре­им. рос. ма­те­ма­ти­ка­ми, осо­бен­но моск. шко­лой, соз­дан­ной Н. Н. Лу­зи­ным. П. С. Алек­сан­д­ров до­ка­зал (1916) тео­ре­му о том, что вся­кое не­счёт­ное бо­ре­лев­ское мно­же­ст­во име­ет мощ­ность кон­ти­нуу­ма. Ап­па­рат это­го до­ка­за­тель­ст­ва был при­ме­нён М. Я. Сус­ли­ным для по­строе­ния тео­рии т. н. А-мно­жеств, ох­ва­ты­ваю­щих как ча­ст­ный слу­чай бо­ре­лев­ские мно­же­ст­ва. Ока­за­лось, что А-мно­же­ст­ва сов­па­да­ют с не­пре­рыв­ны­ми об­раз­ами мно­же­ст­ва всех ир­ра­цио­наль­ных чи­сел. Лу­зин на­зы­вал их ана­ли­тич. мно­же­ст­ва­ми. Тео­рия А-мно­жеств в те­че­ние не­сколь­ких лет ос­та­ва­лась в цен­тре Д. т. м., вплоть до то­го вре­ме­ни, как Лу­зин при­шёл к об­ще­му оп­ре­де­ле­нию про­ек­тив­ных мно­жеств, ко­то­рые мо­гут быть по­лу­че­ны, от­прав­ля­ясь от мно­же­ст­ва всех ир­ра­цио­наль­ных чи­сел при по­мо­щи по­втор­но­го при­ме­не­ния опе­ра­ции вы­чи­та­ния и не­пре­рыв­но­го ото­бра­же­ния. Важ­ный вклад в тео­рию A-мно­жеств вне­сли ра­бо­ты рос. ма­те­ма­ти­ков П. С. Но­ви­ко­ва и Л. В. Кел­дыш. Д. т. п. тес­но свя­за­на с ис­сле­до­ва­ния­ми по ос­но­ва­ни­ям ма­те­ма­ти­ки (в ча­ст­но­сти, с та­ки­ми во­про­са­ми, как эф­фек­тив­ная оп­ре­де­ли­мость ма­те­ма­тич. объ­ек­тов и раз­ре­ши­мость ма­те­ма­тич. про­блем).