БУ́ЛЕВА А́ЛГЕБРА

БУ́ЛЕВА А́ЛГЕБРА (бу­ле­ва ре­шёт­ка), час­тич­но упо­ря­до­чен­ное мно­же­ст­во спе­ци­аль­но­го ви­да. Б. а. мож­но фор­маль­но оп­ре­де­лить как не­пус­тое мно­же­ст­во с опе­ра­ция­ми $\lor, \land, ˉ $ удов­ле­тво­ряю­щи­ми ак­сио­мам:

$1)\quad x\lor y = y \lor x,\: x \land y = y \land x;$

$2)\quad x\lor (y \lor z) = (x \lor y) \lor z, \: x \land (y \land z) = (x \land y)\land z;$

$3)\quad(x \land y)\lor y = y, \: (x \lor y)\land y = y;$

$4)\quad x\land(y\lor z) = (x \land y)\lor(x \land z),\: x\lor(y\land z) = (x \lor y)\land(x \lor z);$

$5)\quad (x \land \bar{x})\lor y = y, \: (x\lor \bar{x})\land y = y.$

Упо­ря­до­че­ние эле­мен­тов Б. а. вво­дит­ся ус­ло­ви­ем: $x\leq y$ точ­но то­гда, ко­гда $x = x\land y$. В Б. а. су­ще­ст­ву­ет наи­боль­ший эле­мент 1 – еди­ни­ца Б. а., $1=x \lor \bar{x}$, и наи­мень­ший эле­мент 0 – нуль Б. а., $0 =x\land\bar{x}$. Опе­ра­ции $\lor$ и $\land$ на­зы­ва­ют­ся дизъ­юнк­ци­ей и конъ­юнк­ци­ей и ино­гда обо­зна­ча­ют­ся $sup$ и $inf$, а ино­гда $\cup$ и $\cap$, чем под­чёр­ки­ва­ет­ся их сход­ст­во с тео­ре­ти­ко-мно­же­ст­вен­ны­ми опе­ра­ция­ми объ­е­ди­не­ния и пе­ре­се­че­ния. Конъ­юнк­ция так­же обо­зна­ча­ет­ся сим­во­лом $\&$. Эле­мент Б. а. $\bar{x}$ на­зы­ва­ет­ся до­пол­не­ни­ем $x$ и ино­гда обо­зна­ча­ет­ся  $Cx, x', -x, \neg x$. Допол­не­ние вся­ко­го эле­мен­та в Б. а. един­ст­вен­но.

Б. а. мож­но оп­ре­де­лить и как ди­ст­ри­бу­тив­ную ре­шёт­ку (ди­ст­ри­бу­тив­ную струк­ту­ру; см. Ре­шё­ток тео­рия), имею­щую наи­боль­ший эле­мент 1 – еди­ни­цу Б. а., наи­мень­ший эле­мент 0 – нуль Б. а. и со­дер­жа­щую вме­сте с ка­ж­дым сво­им эле­мен­том $x$ его до­пол­не­ние – эле­мент $Cx$, удов­ле­тво­ряю­щий со­от­но­ше­ни­ям

$sup\{x, Cx\} = 1,\: inf\{x, Cx\} = 0.$

Воз­мож­ны и дру­гие ак­сио­ма­тич. оп­ре­де­ле­ния Б. а. В ак­сио­мах Б. а. от­ра­же­на ана­ло­гия ме­ж­ду по­ня­тия­ми мно­же­ст­ва, со­бы­тия, вы­ска­зы­ва­ния. От­но­ше­ние по­ряд­ка в Б. а. мо­жет быть (в за­ви­си­мо­сти от вы­бо­ра ин­тер­пре­та­ции) ис­тол­ко­ва­но как тео­ре­ти­ко-мно­же­ст­вен­ное вклю­че­ние, как при­чин­ное сле­до­ва­ние для со­бы­тий, как ло­гич. сле­до­ва­ние для вы­ска­зы­ва­ний.

Кро­ме осн. опе­ра­ций $\lor, \land, ˉ $ в Б. а. мо­гут быть оп­ре­де­ле­ны и дру­гие, сре­ди ко­то­рых осо­бен­но важ­на опе­ра­ция сим­мет­рич. раз­но­сти

$x\bigtriangleup y = (x\land \bar{y})\lor(y\land \bar{x})$

(пи­шут так­же $x+_2, |x - y|$).

Б. а. бы­ли вве­де­ны Дж. Бу­лем (1847) как ап­па­рат сим­во­лич. ло­ги­ки. В по­сле­дую­щем Б. а. на­шли ши­ро­кое при­ме­не­ние в разл. раз­де­лах ма­те­ма­ти­ки – в тео­рии ве­ро­ят­но­стей, то­по­ло­гии, функ­цио­наль­ном ана­ли­зе и др. В ос­но­ве при­ло­же­ний Б. а. к ло­ги­ке ле­жит ин­тер­пре­та­ция эле­мен­тов Б. а. как вы­ска­зы­ва­ний (см. Ал­геб­ра ло­ги­ки); при этом до­пол­не­ние $Cx$ ис­тол­ко­вы­ва­ет­ся как от­ри­ца­ние вы­ска­зы­ва­ния $x$, а опе­ра­ции $\land$ и $\lor$ – как конъ­юнк­ция и дизъ­юнк­ция вы­ска­зы­ва­ний. К ло­ги­ке близ­ка и др. об­ласть при­ме­не­ния Б. а. – тео­рия кон­такт­ных схем. Б. а. ис­поль­зу­ют­ся в ак­сио­ма­ти­ке тео­рии ве­ро­ят­но­стей. Ал­геб­ры со­бы­тий, изу­чае­мые в тео­рии ве­ро­ят­но­стей, суть Б. а.; при этом не­ра­вен­ст­во $x\leq y$ оз­на­ча­ет, что со­бы­тие $x$ вле­чёт со­бы­тие $y$; со­от­вет­ст­вен­но с этим ис­тол­ко­вы­ва­ют­ся нуль Б. а., еди­ни­ца Б. а. и бу­ле­вы опе­ра­ции $ \lor, \land$, ‾.

При­ме­ром Б. а. яв­ля­ет­ся упо­ря­до­чен­ная по вклю­че­нию сис­те­ма всех под­мно­жеств фик­си­ро­ван­но­го мно­же­ст­ва $Q$. Та­кая Б. а. обо­зна­ча­ет­ся $2^Q$; её ну­лём слу­жит пус­тое мно­же­ст­во, еди­ни­цей – са­мо мно­же­ст­во $Q$. До­пол­не­ние эле­мен­та $x$ есть мно­же­ст­во $Q\setminus x$; бу­ле­вы опе­ра­ции $\lor$ и $\land$ сов­па­да­ют со­от­вет­ст­вен­но с объ­е­ди­не­ни­ем и пе­ре­се­че­ни­ем.

Вся­кая Б. а. $X$ изо­морф­на не­ко­то­рой ал­геб­ре мно­жеств. Б. а. $X$ на­зы­ва­ет­ся пол­ной, ес­ли вся­кое мно­же­ст­во $E\subset X$ име­ет верх­нюю грань $sup E$ и ниж­нюю грань $inf E$. Не­пол­ная Б. а. мо­жет быть мно­ги­ми спо­со­ба­ми по­пол­не­на, т. е. вло­же­на в ка­че­ст­ве по­дал­геб­ры в не­ко­то­рую пол­ную Б. а.

Пол­ная Б. а. на­зы­ва­ет­ся нор­ми­ро­ван­ной, ес­ли на ней оп­ре­де­ле­на дей­ст­ви­тель­ная функ­ция $\mu$ (ме­ра), об­ла­даю­щая свой­ст­ва­ми: $\mu (x) > 0$ при $x \neq 0$; ес­ли $E\subset X$ и $x\land y = 0$ при $x,\:y\in E, x\neq y$, то

$\mu(sup E) = \sum_{x\in E} \mu(x)$.

В тео­рии ве­ро­ят­но­стей, где нор­ми­ро­ван­ные Б. а. осо­бен­но важ­ны, обыч­но пред­по­ла­га­ют, что $\mu(1) = 1$. При этом зна­че­ние $\mu(x)$ ин­тер­пре­ти­ру­ет­ся как ве­ро­ят­ность со­бы­тия $x$. На нор­ми­ро­ван­ные Б. а. в осн. пе­ре­но­сит­ся клас­сич. тео­рия ме­ры и ин­те­гра­ла. Не вся­кая Б. а. мо­жет быть нор­ми­ро­ва­на. Из­вест­ны разл. ус­ло­вия су­ще­ст­во­ва­ния ме­ры, од­на­ко они да­ле­ко не ис­чер­пы­ва­ют про­бле­мы нор­ми­руе­мо­сти.

Б. а. мо­жет быть на­де­ле­на разл. то­по­ло­гия­ми. Осо­бен­но важ­на т. н. ($o$) -  то­по­ло­гия, ко­то­рая в слу­чае нор­ми­ро­ван­ной Б. а. мет­ри­зуе­ма и со­от­вет­ст­ву­ет мет­ри­ке

$\rho(x, y) = \mu[(x\land \bar{y}) \lor (\bar{x} \land y)]$.

В об­щем слу­чае мо­жет не су­ще­ст­во­вать то­по­ло­гии, хо­ро­шо со­гла­со­ван­ной с по­ряд­ком в бу­ле­вой ал­геб­ре.