РЕШЁТОК ТЕО́РИЯ

РЕШЁТОК ТЕО́РИЯ, раз­дел ал­геб­ры, в ко­то­ром изу­ча­ют­ся час­тич­но упо­ря­до­чен­ные мно­же­ст­ва. Ре­шёт­кой (струк­ту­рой) на­зы­ва­ет­ся час­тич­но упо­ря­до­чен­ное мно­же­ст­во, в ко­то­ром ка­ж­дое двух­эле­мент­ное под­мно­же­ст­во име­ет как точ­ную верх­нюю (sup), так и точ­ную ниж­нюю (inf) гра­ни. От­сю­да вы­те­ка­ет су­ще­ст­во­ва­ние этих гра­ней для лю­бых не­пус­тых ко­неч­ных под­мно­жеств.

При­ме­ры ре­шё­ток: мно­же­ст­во всех под­мно­жеств дан­но­го мно­же­ст­ва, упо­ря­до­чен­ное по вклю­че­нию; вся­кое ли­ней­но упо­ря­до­чен­ное мно­же­ст­во, при­чём ес­ли $a⩽b$, то $sup\{a, b\}=b$, а $inf\{a, b\}=a$; мно­же­ст­во всех под­про­странств век­тор­но­го про­стран­ст­ва, упо­ря­до­чен­ных по вклю­че­нию, где inf – пе­ре­се­че­ние, а sup – объ­е­ди­не­ние со­от­вет­ст­вую­щих под­про­странств; мно­же­ст­во всех дей­ст­ви­тель­ных функ­ций, оп­ре­де­лён­ных на от­рез­ке [0, 1], упо­ря­до­чен­ных ус­ло­ви­ем $f⩽g$, ес­ли $f(t)⩽g(t)$ для всех $0⩽t⩽1$, здесь $$sup\{f,g\}=u,\,\text{гдe}\, u(t)=max\{f(t),g(t)\},\\ inf\{f,g\}=v,\,\text{гдe}\,v(t)=min\{f(t),g(t)\}.$$

По­яв­ле­ние по­ня­тия «ре­шёт­ка» от­но­сит­ся к сер. 19 в. Чёт­ко его сфор­му­ли­ро­вал Р. Де­де­кинд в ра­бо­тах 1894 и 1897. Тер­мин «lattice», пе­ре­ве­дён­ный как «струк­ту­ра», был вве­дён Дж. Бирк­го­фом в 1933. Ны­не в рус. тер­ми­но­ло­гии (из-за мно­го­знач­но­сти сло­ва «струк­ту­ра») он вы­тес­нен сло­вом «ре­шёт­ка». Как са­мо­сто­ят. раз­дел ал­геб­ры эта тео­рия сфор­ми­ро­ва­лась в 1930-х гг.