РЕШЁТОК ТЕО́РИЯ
-
Рубрика: Математика
-
Скопировать библиографическую ссылку:
РЕШЁТОК ТЕО́РИЯ, раздел алгебры, в котором изучаются частично упорядоченные множества. Решёткой (структурой) называется частично упорядоченное множество, в котором каждое двухэлементное подмножество имеет как точную верхнюю (sup), так и точную нижнюю (inf) грани. Отсюда вытекает существование этих граней для любых непустых конечных подмножеств.
Примеры решёток: множество всех подмножеств данного множества, упорядоченное по включению; всякое линейно упорядоченное множество, причём если $a⩽b$, то $sup\{a, b\}=b$, а $inf\{a, b\}=a$; множество всех подпространств векторного пространства, упорядоченных по включению, где inf – пересечение, а sup – объединение соответствующих подпространств; множество всех действительных функций, определённых на отрезке [0, 1], упорядоченных условием $f⩽g$, если $f(t)⩽g(t)$ для всех $0⩽t⩽1$, здесь $$sup\{f,g\}=u,\,\text{гдe}\, u(t)=max\{f(t),g(t)\},\\ inf\{f,g\}=v,\,\text{гдe}\,v(t)=min\{f(t),g(t)\}.$$
Появление понятия «решётка» относится к сер. 19 в. Чётко его сформулировал Р. Дедекинд в работах 1894 и 1897. Термин «lattice», переведённый как «структура», был введён Дж. Биркгофом в 1933. Ныне в рус. терминологии (из-за многозначности слова «структура») он вытеснен словом «решётка». Как самостоят. раздел алгебры эта теория сформировалась в 1930-х гг.