АЛГЕБРАИ́ЧЕСКАЯ ПОВЕ́РХНОСТЬ

АЛГЕБРАИ́ЧЕСКАЯ ПОВЕ́РХНОСТЬ, по­вер­х­ность, за­да­ва­е­мая в де­кар­то­вых ко­ор­ди­на­тах ал­геб­ра­ич. урав­не­ни­ем, в об­щем слу­чае – ал­геб­ра­и­че­ское мно­го­об­ра­зие раз­мер­но­сти 2. При­ме­ра­ми А. п. яв­ля­ют­ся аф­фин­ные и про­ек­тив­ные плос­ко­сти и по­верх­но­сти 2-го по­ряд­ка, изу­чае­мые в ана­ли­тич. гео­мет­рии. А. п., изу­чае­мые в ал­геб­ра­и­че­ской гео­мет­рии, яв­ля­ют­ся в осн. про­ек­тив­ны­ми и не­осо­бы­ми. В от­ли­чие от кри­вых, А. п. об­ла­да­ют мно­ги­ми дис­крет­ны­ми ин­ва­ри­анта­ми. Осн. за­да­чей тео­рии А. п. яв­ля­ет­ся клас­си­фи­ка­ция та­ких по­верх­но­стей. В би­ра­цио­наль­ной клас­си­фи­ка­ции А. п. цен­траль­ным яв­ля­ет­ся по­ня­тие ми­ни­маль­ной мо­де­ли: лю­бая не­осо­бая про­ек­тив­ная А. п. ре­гу­ляр­но и би­ра­цио­наль­но ото­бра­жа­ет­ся ли­бо на ми­ни­маль­ную мо­дель, ли­бо на ли­ней­ча­тую по­верх­ность, ли­бо на про­ек­тив­ную плос­кость. С точ­но­стью до изо­мор­физ­ма ми­ни­маль­ная мо­дель един­ст­вен­на в сво­ём би­ра­цио­наль­ном клас­се.

Изу­че­ние А. п. бы­ло на­ча­то в сер. 19 в. с А. п. 3-го по­ряд­ка. Сис­те­ма­ти­че­ская би­ра­цио­наль­ная тео­рия А. п. бы­ла по­строе­на в осн. итал. гео­мет­ра­ми во гла­ве с Г. Кас­тель­нуо­во и Ф. Эн­ри­к­ве­сом в кон. 19 – нач. 20 вв. Совр. тео­рия А. п. уточ­ня­ет и со­вер­шен­ст­ву­ет клас­сиче­скую, не ме­няя её прин­ци­пи­аль­но. Тео­рия А. п. обоб­ща­ет­ся на раз­мер­но­сти, боль­шие 2. А. п. име­ют при­ме­не­ние в тео­рии дио­фан­то­вых урав­не­ний.