СТОХАСТИ́ЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИА́ЛЬНОЕ УРАВНЕ́НИЕ

СТОХАСТИ́ЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕН­ЦИА́ЛЬ­НОЕ УРАВНЕ́НИЕ, урав­не­ние, в ко­то­ром не­из­вест­ной функ­ци­ей яв­ля­ет­ся слу­чай­ный про­цесс. При­мер С. д. у. да­ёт урав­не­ние для диф­фу­зи­он­но­го про­цес­са $X(t)$ $$dX(t)=a(t,X(t))dt+σ(t,X(t))dW(t),\\ X(0)=X,\tag{*}$$ где $t⩾0$, $a$, $σ$ – за­дан­ные функ­ции, $W$ – за­дан­ный слу­чай­ный про­цесс, слу­чай­ная ве­ли­чи­на $X$ иг­ра­ет роль на­чаль­но­го зна­че­ния. Это С. д. у. по­лу­ча­ет­ся из раз­но­ст­но­го урав­не­ния с по­мо­щью пре­дель­но­го пе­ре­хо­да. Пусть $X(t)$ – ко­ор­ди­на­та взве­шен­ной в жид­ко­сти дос­та­точ­но ма­лой час­ти­цы в мо­мент $t$ (жид­кость те­чёт по труб­ке, тол­щи­ной ко­то­рой мож­но пре­неб­речь). При­ра­ще­ние $X(t+Δt)-X(t)$ за вре­мя $Δt$ с точ­но­стью до ма­лых по­ряд­ков вы­ше $Δt$ мож­но пред­ста­вить в ви­де сум­мы двух ве­ли­чин $$a(t,X(t))Δt,$$ где $a(t, x)$ – ско­рость мак­ро­ско­пи­че­ско­го дви­же­ния жид­ко­сти в мо­мент $t$ в точ­ке $x$, и (флук­туа­ци­он­ной со­став­ляю­щей) $$σ(t,X(t))(W(t+Δt)-W(t)),$$ где $σ(t, x)$ ха­рак­те­ри­зу­ет свой­ст­ва жид­ко­сти в мо­мент $t$ в точ­ке $x$, а $W(t)$ – стан­дарт­ный ви­не­ров­ский про­цесс

(про­цесс бро­унов­ско­го дви­же­ния). Та­ким об­ра­зом, $$X(t+Δt)-X(t)≈\\≈a(t,X(t))Δt+σ(t,X(t))(W(t+Δt)-W(t)),$$ от­ку­да пре­дель­ным пе­ре­хо­дом по $Δt→0$ по­лу­ча­ет­ся С. д. у. (*). Для то­го что­бы этот пре­дель­ный пе­ре­ход был кор­рект­ным, не­об­хо­ди­мы по­ня­тия сто­хас­тич. диф­фе­рен­циа­ла и ин­те­гра­ла.