ПРОИЗВО́ДНАЯ

ПРОИЗВО́ДНАЯ, ос­нов­ное по­ня­тие диф­фе­рен­ци­аль­но­го ис­чис­ле­ния, ха­рак­те­ри­зую­щее ско­рость из­ме­не­ния функ­ции $f(x)$ при из­ме­не­нии ар­гу­мен­та $x$; про­из­вод­ная есть функ­ция, оп­ре­де­ляе­мая при ка­ж­дом $x_0$ как пре­дел $$\lim_{x\rightarrow x_0}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$ ес­ли он су­ще­ст­ву­ет. П. функ­ции $y=f(x)$  обо­зна­ча­ют $f'(x)$, $y'$,$\frac{dy}{dx}$,$\frac{df}{dx}$, $Df(x)$. Функ­ция, имею­щая П. в точ­ке $x_0$, не­пре­рыв­на в этой точ­ке, од­на­ко су­ще­ст­ву­ют не­пре­рыв­ные функ­ции, не имею­щие П. во всех точ­ках за­дан­но­го про­ме­жут­ка. Ес­ли су­ще­ст­ву­ет П. функ­ции $f'(x)$, то её на­зы­ва­ют вто­рой П. функ­ции $y=f(x)$ и обо­зна­ча­ют $f''(x)$, $y''$,$\frac{d^2y}{dx^2}$,$\frac{d^2f}{dx^2}$, $D^2f(x)$. Ана­ло­гич­но оп­ре­де­ля­ет­ся П. лю­бо­го (це­ло­го) по­ряд­ка $n$, ко­то­рую обо­зна­ча­ют $f^{(n)}(x)$, $y^{(n)}$,$\frac{d^ny}{dx^n}$,$\frac{d^nf}{dx^n}$, $D^nf(x)$. Для функ­ций дей­ст­ви­тель­но­го пе­ре­мен­но­го П. мо­жет быть не­диф­фе­рен­ци­руе­мой и да­же раз­рыв­ной. В ком­плекс­ной же об­лас­ти су­ще­ст­во­ва­ние пер­вой П. вле­чёт су­ще­ст­во­ва­ние П. всех по­ряд­ков. Для функ­ций мно­гих пе­ре­мен­ных оп­реде­ля­ют­ся ча­ст­ные про­из­вод­ные – П. по од­но­му из ар­гу­мен­тов, вы­чис­лен­ные в пред­по­ло­же­нии, что ос­таль­ные ар­гу­мен­ты по­сто­ян­ны.

Тер­мин «П.» (а так­же «вто­рая П.» и др.) ввёл Ж. Ла­гранж (1797), обо­зна­че­ния $y'$, $f'(x)$, $f''(x)$ – он же (1770, 1779), а $\frac{dy}{dx}$ – Г. В. Лейб­ниц (1675). Ча­ст­ные П. поя­ви­лись в тру­дах И. Нью­то­на, Лейб­ни­ца, Я. и И. Бер­нул­ли, обо­зна­че­ния $\frac{\partial f}{\partial  x}$,$\frac{\partial z}{\partial x}$ ввёл А. Ле­жандр (1786), $f'_x$,$z'_x$  – Ла­гранж (1797, 1801), $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$,$\frac{\partial^2z}{\partial x \partial y}$  – К. Яко­би (1837).