ПУАССО́НА РАСПРЕДЕЛЕ́НИЕ

ПУАССО́НА РАСПРЕДЕЛЕ́НИЕ, рас­пре­де­ле­ние ве­ро­ят­но­стей слу­чай­ной ве­ли­чи­ны $X$, воз­мож­ные зна­че­ния ко­то­рой – не­от­ри­ца­тель­ные це­лые чис­ла, и $$\sf{P}\it \{X=k\}=\frac{λ^k}{k!}e^{-λ^k},\, k=0, 1, 2, ...,$$ где $λ\gt 0$ – па­ра­метр (здесь, как все­гда, счи­та­ет­ся, что $0!=1$). Ма­те­ма­тич. ожи­да­ние и дис­пер­сия П. р. рав­ны $λ$, ха­рак­те­ри­сти­че­ская функ­ция $$f(t)=\exp(λ(e^{it}-1)).$$ Ес­ли не­за­ви­си­мые слу­чай­ные ве­ли­чи­ны $X_1$ и $X_2$ име­ют П. р. с па­ра­мет­ра­ми $λ_1$ и $λ_2$, то их сум­ма $X_1+X_2$ име­ет П. р. с па­ра­мет­ром $λ_1+λ_2$; вер­но и об­рат­ное: ес­ли сум­ма $X_1+X_2$ не­за­ви­си­мых слу­чай­ных ве­ли­чин име­ет П. р., то ка­ж­дая из слу­чай­ных ве­ли­чин $X_1$, $X_2$ име­ет П. р. При $λ→∞$ слу­чай­ная ве­ли­чи­на $(X-λ)\sqrt{λ}$ име­ет в пре­де­ле стан­дарт­ное нор­маль­ное рас­пре­де­ле­ние. П. р. яв­ля­ет­ся без­гра­нич­но де­ли­мым рас­пре­де­ле­ни­ем