ГИ́ББСА РАСПРЕДЕЛЕ́НИЯ

ГИ́ББСА РАСПРЕДЕЛЕ́НИЯ, рав­но­вес­ные рас­пре­де­ле­ния ве­ро­ят­но­стей пре­быва­ния сис­тем из боль­шо­го чис­ла час­тиц в со­стоя­ни­ях, реа­ли­зуе­мых в разл. фи­зич. ус­ло­ви­ях. Г. р. – фун­дам. за­коны ста­ти­стич. фи­зи­ки – ус­та­нов­ле­ны Дж. У. Гиб­бсом

в 1901 и обоб­ще­ны Дж. фон Ней­ма­ном

 >>

в 1927 для кван­то­вой ста­ти­стич. ме­ха­ни­ки.

Для по­лу­че­ния Г. р. вво­дит­ся ста­ти­сти­че­ский ан­самбль Гиб­бса: со­во­куп­ность боль­шо­го (в пре­де­ле бес­ко­неч­но боль­шо­го) чис­ла ко­пий дан­ной сис­те­мы в фик­си­ро­ван­ном мак­ро­ско­пич. со­стоя­нии, но в разл. мик­ро­со­стоя­ни­ях, ко­то­рые ха­рак­те­ри­зу­ют­ся со­во­куп­но­стя­ми ко­ор­ди­нат $q = (q_1, q_2, \ldots , q_N)$ и им­пуль­сов $p=(p_1,p_2,\ldots,p_N)$ всех $N$ час­тиц сис­те­мы и со­от­вет­ст­ву­ют за­дан­ным мак­ро­ско­пич. ус­ло­ви­ям. Рас­смат­ри­ва­ет­ся рас­пре­де­ле­ние сис­тем (чле­нов ан­самб­ля) в фа­зо­вом про­стран­ст­ве $(p, q)$. Г. р. в клас­сич. ста­ти­сти­ке за­висят от ко­ор­ди­нат и им­пуль­сов лишь че­рез функ­цию Га­миль­то­на $H(p, q)$ и не за­ви­сят от вре­ме­ни, удов­ле­тво­ряя урав­не­нию Лиу­вил­ля в ста­цио­нар­ной фор­ме.

Со­во­куп­ность энер­ге­ти­че­ски изо­ли­ро­ван­ных от ок­ру­жаю­щей сре­ды сис­тем с энер­ги­ей $\mathscr E$ при по­сто­ян­ном объ­ё­ме $V$ с за­дан­ным чис­лом час­тиц $N$ (мик­ро­ка­но­ни­че­ский ан­самбль Гиб­бса) опи­сы­вает­ся мик­ро­ка­но­ни­че­ским рас­пре­де­ле­ни­ем Гиб­бса $f(p,q)$, со­глас­но ко­то­ро­му все со­стоя­ния сис­те­мы в уз­кой об­лас­ти энер­гий $(\Delta\mathscr E≪\mathscr E)$ вбли­зи $\mathscr E$ рав­но­ве­ро­ят­ны (осн. ги­по­те­за ста­ти­стич. ме­ха­ни­ки).

Со­во­куп­ность сис­тем в кон­так­те с тер­мо­ста­том (ка­но­ни­че­ский ан­самбль Гиб­бса), т. е. сис­тем с пе­ре­мен­ной энер­ги­ей (фик­си­ро­ва­но лишь её ср. зна­че­ние) при за­дан­ных объ­ё­ме $V$ и чис­ле час­тиц $N$ и аб­со­лют­ной темп-pе тер­мо­ста­та $T$, опи­сы­ва­ет­ся ка­но­ни­че­ским рас­пре­де­ле­ни­ем Гиб­бса:  $$f(p,q)=\exp \left\{ \frac{F-H(p,q)}{kT} \right \} ,$$ где $T$ – аб­со­лют­ная темп-ра, $F$ – сво­бод­ная энер­гия (Гельм­голь­ца энер­гия

), $k$ – постоянная Больцмана.

Рас­пре­де­ле­ние ве­ро­ят­но­стей для сис­тем в тер­мич. и ма­те­ри­аль­ном кон­так­те с тер­мо­ста­том и ре­зер­вуа­ром час­тиц (боль­шой ка­но­ни­че­ский ан­самбль Гиб­бса), т. е. для сис­тем с пе­ре­мен­ны­ми чис­лом час­тиц $N$ и энер­ги­ей, оп­ре­де­ляе­мой функ­ци­ей Га­миль­то­на $H_N$, но с за­дан­ны­ми темп-рой и хи­мич. по­тен­циа­лом $μ$, опи­сы­ва­ет­ся боль­шим ка­но­ни­че­ским рас­пре­де­ле­ни­ем Гиб­бса: $$f_N(p,q)=\exp \left \{ \frac {\Omega - H_N(p,q) - μN}{kT} \right \},$$ где $\Omega$ – тер­мо­ди­на­мич. по­тен­ци­ал в пе­ре­мен­ных $V, μ, T$, оп­ре­де­ляе­мый из ус­ло­вия нор­ми­ров­ки ве­ро­ят­но­сти.

Со­во­куп­ность сис­тем в тер­мич. и ме­ха­нич. кон­так­те с ок­ру­жаю­щей сре­дой (изо­ба­ри­че­ски-изо­тер­ми­че­ский ан­самбль Гиб­бса), т. е. с пе­ре­мен­ны­ми энер­ги­ей и объ­ё­мом, ко­гда по­сто­ян­ным под­дер­жи­ва­ет­ся дав­ле­ние $P$ с по­мо­щью, напр., под­виж­но­го порш­ня, опи­сы­ва­ет­ся изо­бар­но-изо­тер­ми­че­ским рас­пре­де­ле­ни­ем Гиб­бса:  $$f_V(p,q)=\exp \left \{ \frac {G - H(p,q) - PV}{kT} \right \},$$ где $G$ – Гиб­бса энер­гия

, т. е. тер­мо­ди­на­мич. по­тен­ци­ал в пе­ре­мен­ных $V, P, T$.

Г. р. в клас­сич. ста­ти­стич. ме­ха­ни­ке яв­ля­ют­ся пре­дель­ны­ми слу­чая­ми Г. р. кван­то­вой ста­ти­стич. ме­ха­ни­ки при та­ких плот­но­стях и темп-pax, ко­гда мож­но пре­неб­речь кван­то­вы­ми эф­фек­та­ми. Для кван­то­вых сис­тем Г. р. име­ют та­кую же фор­му, как и для клас­си­че­ских, но в них вме­сто $H(p,q)$ вхо­дит энер­гия $i$-гo кван­то­во­го уров­ня сис­те­мы.

Все Г. р. со­от­вет­ст­ву­ют мак­си­му­му ин­фор­мац. эн­тро­пии (см. Эн­тро­пия

) при разл. до­пол­нит. ус­ло­ви­ях: мик­ро­ка­но­нич. Г. р. – при по­сто­ян­ном чис­ле час­тиц и энер­гии; ка­но­нич. Г. р. – при по­сто­ян­ном чис­ле час­тиц и за­дан­ной ср. энер­гии; боль­шое ка­но­нич. Г. р. – при за­дан­ных ср. энер­гии и ср. чис­ле час­тиц. T. о., все Г. р. яв­ля­ют­ся наи­бо­лее ве­ро­ят­ны­ми рас­пре­де­ле­ния­ми, но при разл. ус­ло­ви­ях.

Для вы­чис­ле­ния тер­мо­ди­на­мич. по­тен­циа­лов все Г. р. эк­ви­ва­лент­ны, т. е. ес­ли с по­мо­щью од­но­го из Г. р. вы­чис­лить со­от­вет­ст­вую­щий ему тер­мо­ди­на­мич. по­тен­ци­ал, то за­тем при по­мо­щи тер­мо­ди­на­мич. со­от­но­ше­ний мож­но най­ти и все др. тер­мо­ди­на­мич. по­тен­циа­лы, со­от­вет­ст­вую­щие др. ан­самб­лям.