Processing math: 100%
Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

МА́РКОВА ЦЕПЬ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 19. Москва, 2011, стр. 162

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:


    Книжная версия:



    Электронная версия:

Авторы: А. В. Прохоров

МА́РКОВА ЦЕПЬ, по­сле­до­ва­тель­ность за­ви­си­мых слу­чай­ных ве­ли­чин X0,X1,X2,... со зна­че­ния­ми из мно­же­ст­ва на­ту­раль­ных чи­сел, об­ла­даю­щая тем свой­ст­вом, что ус­лов­ное рас­пре­де­ле­ние слу­чай­ной ве­ли­чи­ны Xn,n1, за­ви­сит толь­ко от зна­че­ния Xn1 и не за­ви­сит от всех пре­ды­ду­щих зна­че­ний, т. е. ус­лов­ная ве­ро­ят­ность P{Xn=inX0=i0,...,Xn1=in1}=P{Xn=inXn1=in1}.

Это свой­ст­во, оп­ре­де­ляю­щее М. ц., на­зы­ва­ет­ся мар­ков­ским свой­ст­вом и яв­ля­ет­ся обоб­ще­ни­ем по­ня­тия не­за­ви­си­мо­сти. М. ц. поя­ви­лись в ис­сле­до­ва­ни­ях А. А. Мар­ко­ва

 >>
(1907) и по­слу­жи­ли на­ча­лом соз­да­ния тео­рии мар­ков­ских про­цес­сов. С об­щей точ­ки зре­ния М. ц. пред­став­ля­ет со­бой мар­ков­ский про­цесс
 >>
с дис­крет­ным вре­ме­нем n=0,1,2,... и ко­неч­ным или счёт­ным мно­же­ст­вом со­стоя­ний; со­стоя­ния М. ц. суть воз­мож­ные зна­че­ния слу­чай­ных ве­ли­чин X0,X1,... Ес­ли ус­лов­ные ве­ро­ят­но­сти P{Xn=jXn1=i},i,j=1,2,..., оди­на­ко­вы для всех n, со­от­вет­ст­вую­щая М. ц. на­зы­ва­ет­ся од­но­род­ной (по вре­ме­ни). Ве­ро­ят­но­сти pij=P{Xn=jXn1=i} на­зы­ва­ют­ся пе­ре­ход­ны­ми ве­ро­ят­но­стя­ми од­но­род­ной М. ц.; в со­во­куп­но­сти они со­став­ля­ют квад­рат­ную мат­ри­цу =pij,i,j=1,2,..., эле­мен­ты ко­то­рой pij0 для всех i,j и jpij=1; та­кие мат­ри­цы на­зы­ва­ют­ся сто­хас­ти­че­ски­ми. Рас­пре­де­ле­ние pk(0)=P{X0=k},k=1,2,..., слу­чай­ной ве­ли­чи­ны X0 на­зы­ва­ют на­чаль­ным рас­пре­де­ле­ни­ем М. ц. Со­вме­ст­ное рас­пре­де­ле­ние X0,X1,...,Xn вы­ра­жа­ет­ся че­рез эле­мен­ты мат­ри­цы и рас­пре­де­ле­ние {pk(0),k=1,2,...}:P{X0=i0,X1=i1,...,Xn=in}=pi0(0)pi0,i1...pin1,inПе­ре­ход­ные ве­ро­ят­но­сти из со­стоя­ния i в со­стоя­ние j за n ша­гов pij(n)=P{Xm+n=jXm=i}удов­ле­тво­ря­ют урав­не­нию Кол­мо­го­ро­ва – Чеп­ме­н pij(n1+n2)=kpik(n1)pkj(n2),а со­от­вет­ст­вую­щие мат­ри­цы n=pij(n)  – со­от­но­ше­нию n1+n2=n1n2. Пе­ре­ход­ные ве­ро­ят­но­сти pij(n) од­но­знач­но оп­ре­де­ля­ют­ся мат­ри­цей , т. к. n=n. Т. о., все рас­пре­де­ле­ния М. ц. пол­но­стью за­да­ют­ся мат­ри­цей и на­чаль­ным рас­пре­де­ле­ни­ем {pk(0),k=1,2,...}.

Важ­ным клас­сом М. ц. яв­ля­ют­ся т. н. эр­го­дич. М. ц., пе­ре­ход­ные ве­ро­ят­но­сти ко­то­рых pij(n) об­ла­да­ют тем свой­ст­вом, что limnpij(n)=pj0j,j=1,2,..., где чис­ла pj,j=1,2,...,jpj=1 , представ­ля­ют со­бой един­ст­вен­ное ре­ше­ние сис­те­мы урав­не­ний pj=ipipij,j=1,2,... Чис­ла pj ин­тер­пре­ти­ру­ют­ся в этом слу­чае как ве­ро­ят­но­сти то­го, что М. ц. че­рез очень боль­шое вре­мя n ока­жет­ся в со­стоя­нии j не­за­ви­си­мо от на­чаль­но­го рас­пре­де­ле­ния. Та­кое рас­пре­де­ле­ние pj,j=1,2,..., на­зы­ва­ет­ся ста­цио­нар­ным рас­пре­де­ле­ни­ем М. ц. с пе­ре­ход­ной мат­ри­цей ; оно об­ла­да­ет следующим свой­ст­вом: ес­лиP{X0=j}=pj,j=1,2,..., то при лю­бом nP{Xn=j}=pj,т. е. ес­ли на­чаль­ное рас­пре­де­ле­ние сов­па­да­ет со ста­цио­нар­ным, то рас­пре­де­ле­ния слу­чай­ных ве­ли­чин Xn,n=0,1,..., не за­ви­сят от n. Со­от­вет­ст­вую­щая М. ц. на­зы­ва­ет­ся ста­цио­нар­ной; см. Ста­цио­нар­ный слу­чай­ный про­цесс

 >>
.

Лит.: Чжун Кай-лай. Од­но­род­ные це­пи Мар­ко­ва. М., 1964; Ке­ме­ни Дж., Снелл Дж. Ко­неч­ные це­пи Мар­ко­ва. М., 1970; Фел­лер В. Вве­де­ние в тео­рию ве­ро­ят­но­стей и ее при­ло­же­ния: В 2 т. 2-е изд. М., 2010.

Вернуться к началу