ЛОГАРИФМИ́ЧЕСКИ-НОРМА́ЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕ́НИЕ

ЛОГАРИФМИ́ЧЕСКИ-НОРМА́ЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕ́НИЕ, рас­пре­де­ле­ние ве­ро­ят­но­стей

по­ло­жи­тель­ной слу­чай­ной ве­ли­чи­ны $X$, за­дан­ное плот­но­стью $$p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma x}e^{-\frac{(\text{ln}x-a)^2}{2\sigma ^2}},\; x>0,$$ где -∞<$a$<∞, $σ>0$ – па­ра­мет­ры. Слу­чай­ная ве­ли­чи­на $X$ име­ет Л.-н. р. с ука­зан­ной плот­но­стью, ес­ли её на­ту­раль­ный ло­га­рифм $\text{ln}X$ име­ет нор­маль­ное рас­пре­де­ле­ние с па­ра­мет­ра­ми $a$ и $σ$ (от­сю­да назв. «Л.-н. р.»), т. е. $a=\textbf{E}\text{ln}X,\; σ^2=\textbf{D}\text{ln}X$. Мо­мен­ты слу­чай­ной ве­ли­чи­ны $X$, имею­щей Л.-н. р. с па­ра­мет­ра­ми $a$ и $σ$ , вы­ра­жа­ют­ся фор­му­лой $$\textbf{E}X^k=e^{ka+k^2σ^2/2},$$ в частности математич. ожидение и дисперсия $X$ равны $$\textbf{E}X=e^{a+ σ^2/2} \; \text{и}\; \textbf{D}X=e^{2a+σ ^2}(e^{σ^2}-1).$$

Л.-н. р. да­ёт один из про­стей­ших при­ме­ров рас­пре­де­ле­ния, ко­то­рое не оп­ре­де­ля­ет­ся од­но­знач­но свои­ми мо­мен­та­ми. Про­из­ве­де­ние не­за­ви­си­мых слу­чай­ных ве­ли­чин с Л.-н. р. вновь име­ет Л.-н. р. Из цен­траль­ной пре­дель­ной тео­ре­мы

сле­ду­ет, что при оп­ре­де­лён­ных ус­ло­виях Л.-н. р. яв­ля­ет­ся пре­дель­ным рас­пре­де­ле­ни­ем для про­из­ве­де­ния не­за­ви­си­мых по­ло­жи­тель­ных слу­чай­ных ве­ли­чин. Л.-н. р. яв­ля­ет­ся уни­мо­даль­ным рас­пре­де­ле­ни­ем и име­ет по­ло­жи­тель­ную асим­мет­рию. Л.-н. р. при­ме­ня­ет­ся в эко­но­ми­ке, био­ло­гии, гео­ло­гии, фи­зи­ке. Напр., Л.-н. р. с хо­ро­шим при­бли­же­ни­ем опи­сы­ва­ет рас­пре­де­ле­ние раз­ме­ра час­тиц при дроб­ле­нии по­ро­ды.