ИСЧЕ́РПЫВАНИЯ МЕ́ТОД
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
Книжная версия:
Электронная версия:
ИСЧЕ́РПЫВАНИЯ МЕ́ТОД, метод доказательства, применявшийся математиками древности при определении площадей и объёмов.
Одна из типичных схем доказательств при помощи И. м. может быть изложена в совр. обозначениях следующим образом. Для определения значения неизвестной величины A можно построить некоторую последовательность величин C1,C2,...,Cn,... такую, что Cn<A(1) для всех n, и указать величину B такую, что Cn<B(2) для всех n. При этом последовательность C1,C2,...,Cn,... и величина B должны быть такими, что справедливы неравенства K(A−Cn)<D(3) K(B−Cn)<D(4) при любом целом K для достаточно больших n, где D – постоянная величина. В этом случае A=B.
С совр. точки зрения для перехода от неравенств (3) и (4) к равенству A=B достаточно заметить, что в силу условий (1) – (4) lim A = \lim_{n \to \infty} C_n = B.
Математики древности, не располагавшие теорией пределов, обращались к доказательству от противного и доказывали невозможность каждого из неравенств A < B, B < A. Чтобы опровергнуть первое из них, при помощи аксиомы Евдокса – Архимеда (она состоит в том, что для любых положительных величин a и b таких, что a < b, существует целое число m такое, что ma>b) устанавливали, что для R = B - A существует такое K, что KR > D, и в силу условия (1) получали неравенства K(B - C_n) > K(B - A) > D, что противоречит (4). Аналогично опровергалось др. предположение и оставалось только принять равенство A = B.
Введение И. м. вместе с лежащей в его основе аксиомой приписывается Евдоксу Книдскому. Этим методом широко пользовался Евклид, и с особенным искусством и разнообразием – Архимед. Напр., для определения площади сегмента, заключённого между параболой и пересекающей её прямой (рис.), Архимед строил площади C_1, C_2, ..., C_n, ..., «исчерпывающие» при их постепенном нарастании эту площадь. При этом C_2 = C_1 + \frac14C_1, C_3 = C_1 + \frac14C_1 + \frac{1}{16}C_1, C_n = C_1 + \frac14C_1 + ... + \frac{1} {4^{n - 1}}C_1, ... Вместо того чтобы прибегнуть к предельному переходу A = \lim_{n \to \infty} C_n = \left(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + ...\right)C_1 = \frac{4}{3}C_1, Архимед с помощью геометрич. соображений доказал, что при любом n справедливо неравенство A - C_n < C_1 / 4^{n - 1}, для величины B = 4C_1/3 установил, что B - C_n = \frac{1}{3 \cdot 4^{n - 1}}C_1, и, следуя изложенному выше, доказал, что A = B = 4C_1/3.