Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ИСЧЕ́РПЫВАНИЯ МЕ́ТОД

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 12. Москва, 2008, стр. 147

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:


    Книжная версия:



    Электронная версия:

Авторы: А. Н. Колмогоров

ИСЧЕ́РПЫВАНИЯ МЕ́ТОД, ме­тод до­ка­за­тель­ст­ва, при­ме­няв­ший­ся ма­те­ма­ти­ка­ми древ­но­сти при оп­ре­де­ле­нии пло­ща­дей и объ­ё­мов.

Одна из типичных схем доказательств при помощи И. м. может быть изложена в совр. обозначениях следующим образом. Для определения значения неизвестной величины A можно построить некоторую последовательность величин C1,C2,...,Cn,... такую, что Cn<A(1) для всех n, и указать величину B такую, что Cn<B(2) для всех n. При этом последовательность C1,C2,...,Cn,... и величина B долж­ны быть та­ки­ми, что спра­вед­ли­вы не­ра­вен­ст­ва K(ACn)<D(3) K(BCn)<D(4) при лю­бом це­лом K для дос­та­точ­но боль­ших n, где D – по­сто­ян­ная ве­ли­чи­на. В этом слу­чае A=B.

С совр. точ­ки зре­ния для пе­ре­хо­да от не­ра­венств (3) и (4) к ра­вен­ст­ву A=B дос­та­точ­но за­ме­тить, что в си­лу ус­ло­вий (1) – (4) lim A = \lim_{n \to \infty} C_n = B.

Ма­те­ма­ти­ки древ­но­сти, не рас­по­ла­гав­шие тео­ри­ей пре­де­лов

 >>
, об­ра­ща­лись к до­ка­за­тель­ст­ву от про­тив­но­го и до­ка­зы­вали не­воз­мож­ность ка­ж­до­го из не­ра­венств A < B, B < A. Что­бы оп­ро­верг­нуть пер­вое из них, при по­мо­щи ак­сио­мы Ев­док­са – Ар­хи­ме­да (она со­сто­ит в том, что для лю­бых по­ло­жи­тель­ных ве­ли­чин a и b та­ких, что a < b, су­ще­ст­ву­ет це­лое чис­ло m та­кое, что ma>b) ус­та­нав­ли­ва­ли, что для R = B - A су­ще­ст­ву­ет та­кое K, что KR > D, и в си­лу ус­ло­вия (1) по­лу­ча­ли не­ра­вен­ст­ва K(B - C_n) > K(B - A) > D, что про­ти­во­ре­чит (4). Ана­ло­гич­но оп­ро­вер­га­лось др. пред­по­ло­же­ние и ос­та­ва­лось толь­ко при­нять ра­вен­ст­во A = B.

Вве­де­ние И. м. вме­сте с ле­жа­щей в его ос­но­ве ак­сио­мой при­пи­сы­ва­ет­ся Ев­док­су Книд­ско­му

 >>
. Этим ме­то­дом ши­ро­ко поль­зо­вал­ся Евк­лид
 >>
, и с осо­бен­ным ис­кус­ст­вом и раз­но­об­ра­зи­ем – Ар­хи­мед
 >>
. Напр., для оп­ре­де­ле­ния пло­ща­ди сег­мен­та, заключённого между па­ра­бо­лой и пересекающей её прямой (рис.), Ар­хи­мед стро­ил пло­ща­ди C_1, C_2, ..., C_n, ..., «ис­чер­пы­ваю­щие» при их по­сте­пен­ном на­рас­та­нии эту пло­щадь. При этом C_2 = C_1 + \frac14C_1, C_3 = C_1 + \frac14C_1 + \frac{1}{16}C_1, C_n = C_1 + \frac14C_1 + ... + \frac{1} {4^{n - 1}}C_1, ... Вме­сто то­го что­бы при­бег­нуть к пре­дель­но­му пе­ре­хо­ду A = \lim_{n \to \infty} C_n = \left(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + ...\right)C_1 = \frac{4}{3}C_1, Ар­хи­мед с по­мо­щью гео­мет­рич. со­об­ра­же­ний до­ка­зал, что при лю­бом n спра­вед­ли­во не­ра­вен­ст­во A - C_n < C_1 / 4^{n - 1}, для ве­ли­чи­ны B = 4C_1/3 ус­та­но­вил, что B - C_n = \frac{1}{3 \cdot 4^{n - 1}}C_1, и, сле­дуя из­ло­жен­но­му вы­ше, до­ка­зал, что A = B = 4C_1/3.

Вернуться к началу