ВОЗМУЩЕ́НИЙ ТЕО́РИЯ

ВОЗМУЩЕ́НИЙ ТЕО́РИЯ, об­щее на­зва­ние ком­плек­са ме­то­дов ис­сле­до­ва­ния разл. за­дач. В. т. при­ме­ня­ет­ся в тех слу­ча­ях, ко­гда при ис­сле­до­ва­нии фи­зич. (в ши­ро­ком смыс­ле) про­цес­са (напр., дви­же­ния пла­нет Сол­неч­ной сис­те­мы) ус­та­нов­ле­ны ма­те­ма­тич. со­от­но­ше­ния (напр., диф­фе­рен­ци­аль­ные урав­не­ния), ко­то­рым удов­ле­тво­ря­ют ха­рак­те­ри­сти­ки изу­чае­мо­го про­цес­са (напр., ко­ор­ди­на­ты пла­нет), при­чём эти со­от­но­ше­ния со­дер­жат ма­лый па­ра­метр $ε$ (или не­сколь­ко та­ких па­ра­мет­ров), и при $ε = 0$ сис­те­ма этих со­от­но­ше­ний до­пус­ка­ет дос­та­точ­но про­стое ре­ше­ние. Ис­тин­ное по­ве­де­ние изу­чае­мо­го про­цес­са рас­смат­ри­ва­ет­ся как «воз­му­ще­ние» про­цес­са, со­от­вет­ст­вую­ще­го зна­че­нию $ε = 0$. За­да­ча В. т. со­сто­ит в том, что­бы, от­прав­ля­ясь от из­вест­ных ре­зуль­та­тов для $ε = 0$, най­ти по­прав­ки к ним, ко­то­рые по­зво­ля­ют с дос­та­точ­ной точ­но­стью оп­ре­де­лить зна­че­ния изу­чае­мых ве­ли­чин и при не­ну­ле­вых, хо­тя и ма­лых, зна­че­ни­ях $ε$.

Напр., для пла­нет Сол­неч­ной сис­те­мы па­ра­мет­ры $ε$ ха­рак­те­ри­зу­ют ма­лость вза­им­но­го при­тя­же­ния пла­нет по срав­не­нию с их при­тя­же­ни­ем Солн­цем. При $ε = 0$ учи­ты­ва­ет­ся толь­ко при­тя­же­ние пла­нет Солн­цем, так что их дви­же­ние опи­сы­ва­ет­ся Ке­п­ле­ра за­ко­на­ми. С при­вле­че­ни­ем В. т. бо­лее точ­ное опи­са­ние дви­же­ния пла­нет мо­жет быть по­лу­че­но с учё­том влия­ния вза­им­но­го при­тя­же­ния всех или наи­бо­лее круп­ных пла­нет.

Об­щая схе­ма при­ме­не­ния В. т. по-раз­но­му кон­кре­ти­зи­ру­ет­ся в разл. за­да­чах. В са­мом ши­ро­ком пла­не осн. часть В. т. рас­па­да­ет­ся на В. т. для диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний (напр., упо­мя­ну­тая за­да­ча о пла­не­тах) и на В. т. для опе­ра­то­ров в функ­цио­наль­ном ана­ли­зе (напр., ряд за­дач кван­то­вой ме­ха­ни­ки). Вне этих ра­мок (хо­тя и в идей­ной свя­зи с осн. ча­стью В. т.) на­хо­дят­ся при­ме­не­ния свое­об­раз­ных ва­ри­ан­тов В. т. в ста­ти­стич. фи­зи­ке и кван­то­вой тео­рии по­ля. Име­ют­ся так­же по­гра­нич­ные об­лас­ти, от­не­се­ние ко­то­рых к В. т. за­ви­сит от кон­крет­но­го со­дер­жа­ния, вкла­ды­вае­мо­го в это по­ня­тие.

Во мно­гих слу­ча­ях вы­чис­ляе­мые ве­ли­чи­ны мо­гут быть пред­став­ле­ны в ви­де ря­да по сте­пе­ням $ε$, что мо­жет быть сде­ла­но срав­ни­тель­но не­слож­но. Од­на­ко та­кой пря­мой под­ход да­же в про­стых за­да­чах мо­жет быть не­аде­к­ват­ным в том смыс­ле, что по­лу­чен­ный ре­зуль­тат мо­жет не от­ра­жать спе­ци­фи­ки яв­ле­ния. Пусть, напр., изу­ча­ет­ся ко­ле­ба­ние, ха­рак­те­ри­зуе­мое не­ко­то­рой ве­ли­чи­ной $x$, пе­рио­ди­че­ски из­ме­няю­щей­ся со вре­ме­нем $t$ по за­ко­ну $x=sin ωt$, при­чём за­ви­си­мость час­то­ты $ω$ от $ε$ вы­ра­жа­ет­ся

сте­пен­ным ря­дом $w=ω_0+ω_1ε+ω_2ε^2+...$. При пря­мом под­хо­де по­лу­ча­ет­ся, что

 $x=sinω_0t+εω_1tcosω_0t+ε^2(ω_2tcosω_0t-ω_1^2t^2sinω_0t)+... $.

Эта фор­му­ла не от­ра­жа­ет пе­рио­дич­но­сти функ­ции $x(t)$ и да­же мо­жет соз­дать­ся впе­чат­ле­ние, буд­то с рос­том $t$ ве­ли­чи­на $x(t)$ мо­жет стать очень боль­шой. По­это­му при при­ме­не­нии В. т. при­хо­дит­ся ис­поль­зо­вать дру­гие (не пря­мые) под­хо­ды, при ко­то­рых тем или иным спо­со­бом учи­ты­ва­ет­ся воз­мож­ность из­ме­не­ния час­то­ты ко­ле­ба­ний, но со­хра­ня­ет­ся ко­ле­ба­тель­ный ха­рак­тер про­цес­са и при $ε≠0$. Это го­во­рит о том, что в ря­де слу­ча­ев В. т. смы­ка­ет­ся с др. раз­де­ла­ми тео­рии диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний или тео­рии опе­ра­то­ров.

В бо­лее слож­ных слу­ча­ях ряд по сте­пе­ням $ε$ мо­жет рас­хо­дить­ся, час­то его мож­но по­ни­мать как асим­пто­тич. раз­ло­же­ние, что ино­гда дос­та­точ­но для це­лей ис­сле­до­ва­ния.

Ска­зан­ное вы­ше от­но­сит­ся к осн. час­ти В. т. Ино­гда при­хо­дит­ся вы­хо­дить за пре­де­лы осн. час­ти В. т. Так, с при­вле­че­ни­ем КАМ-тео­рии в не­ко­то­рых за­да­чах В. т. мож­но по­лу­чать бо­лее точ­ные ре­зуль­та­ты. В слу­ча­ях, ко­гда по­прав­ки при ис­поль­зо­ва­нии В. т. име­ют вы­со­кий по­ря­док ма­ло­сти, так­же ну­жен вы­ход за пре­де­лы осн. яд­ра В. т. КАМ-тео­рия и на­хо­ж­де­ние экс­по­нен­ци­аль­ных по­пра­вок – при­ме­ры упо­ми­нав­ших­ся вы­ше по­гра­нич­ных с В. т. об­лас­тей.