МУЛЬТИПО́ЛЬ
-
Рубрика: Физика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
МУЛЬТИПО́ЛЬ (от лат. multum – много и греч. πόλος – полюс), определённая конфигурация неподвижных или движущихся электрич. зарядов в ограниченной области пространства. Назв. «M.» включает в себя обозначение числа зарядов (на греч. яз.), образующих M.; напр., октуполь (от греч. ὀϰτώ – восемь) означает, что в состав M. входит 8 зарядов. Простейшие M.: точечный заряд – монополь, или M. нулевого порядка; два равных по абсолютной величине, но противоположных по знаку заряда – диполь, или M. 1-го порядка; четыре равных по абсолютной величине заряда, расположенных в вершинах параллелограмма так, что каждая его сторона соединяет заряды противоположного знака, – квадруполь, или M. 2-го порядка. М. каждого типа соответствует своя особая характеристика – мультипольный момент.
Электрический мультиполь
Для системы электрич. зарядов $q_i$ ($i$ – номер заряда), находящихся в ограниченной области пространства с характерным размером $L$, потенциал электрич. поля в точке, определяемой радиус-вектором $\boldsymbol R$, равен $$φ({\boldsymbol R})=\frac{1}{4πε_0} \sum_1 \frac{q_i}{|{\boldsymbol R}-{\boldsymbol r}_i|},$$ где $ε_0$ – электрич. постоянная, ${\boldsymbol r}_i$ – радиус-вектор заряда $q_i$ (начало координат находится внутри системы зарядов). При $R≫L$ потенциал $φ({\boldsymbol R})$ можно разложить в ряд: $$φ({\boldsymbol R})=\frac{1}{4πε_0}\left ( \frac{q}{R} +\frac{{\boldsymbol pR}}{R^3} + \frac{\sum\limits_{α,β} Q_{α,β} R_αR_β}{2R^5} +\, ...\, \right ),$$ где $q=\sum_iq_i$ – полный заряд системы (мультипольный момент нулевого порядка), ${\boldsymbol p}=\sum_iq_i{\boldsymbol r}_i$ – дипольный момент системы зарядов (мультипольный момент 1-го порядка), $Q_{α,β}=\sum_iq_i(3r_{iα}r_{iβ} - r_i^2 δ_{αβ})$ – тензор квадрупольного момента системы зарядов (мультипольный момент 2-го порядка) и т. д. Здесь $α$ и $β$ означают оси системы координат ($α,\, β=1,\, 2,\, 3$; $1$ – ось $x$, $2$ – ось $y$, $3$ – ось $z$), $r_{iα}$ – проекция вектора ${\boldsymbol r}_i$ на соответствующую ось, $δ_{αβ}$ – символ Кронекера. Приведённое разложение потенциала $φ({\boldsymbol R})$ в ряд называется разложением по мультиполям или мультипольным разложением, где каждый последующий член учитывает более детальное распределение заряда.
При рассмотрении поля на больших расстояниях в самом грубом приближении все заряды системы можно заменить одним зарядом, равным заряду системы. Если полный заряд системы равен нулю, то надо учитывать следующий член разложения – мысленно стянуть все отрицательные заряды в одну точку, вокруг которой они распределены, и аналогично положительные заряды – в др. точку. Это приведёт к замене истинного распределения зарядов диполем электрическим («двухполюсником»). При этом дипольный момент диполя ${\boldsymbol p}=Q{\boldsymbol l}$, где ${\boldsymbol l}$ – вектор, проведённый от отрицательного заряда $–Q$ к положительному заряду $Q$. Если дипольный момент системы равен нулю, то используют следующее приближение, заменяя систему зарядов квадруполем («четырёхполюсником») – двумя диполями с равными по величине и противоположными по направлению дипольными моментами. Ещё более детальное описание распределения зарядов даёт учёт последующих приближений, в которых распределение зарядов описывается М. («многополюсниками»), учитывающими всё большее число пар зарядов.
Магнитный мультиполь
Для системы электрич. зарядов $q_i$, движущихся со скоростями ${\boldsymbol v}_i$ в огранич. области пространства с характерным размером $L$, векторный потенциал в точке, определяемой радиус-вектором ${\boldsymbol R}$, равен $${\boldsymbol A(\boldsymbol R)} =\frac{μ_0}{4π} \sum_i \frac{q_i{\boldsymbol v}_i}{|{\boldsymbol R} - {\boldsymbol r}_i|},$$ где $μ_0$ – магнитная постоянная. При $R≫L$ векторный потенциал ${\boldsymbol A(\boldsymbol R)}$ можно разложить в ряд. Обычно ограничиваются первым членом разложения: $${\boldsymbol A(\boldsymbol R)} \approx \frac{μ_0}{4π} \frac{{\boldsymbol M} \times {\boldsymbol R}}{R^3},$$ где ${\boldsymbol M} =(1/2) \sum_i q_i{\boldsymbol r}_i \times {\boldsymbol v}_i$ – магнитный момент системы зарядов.
Разложение электрич. и векторного потенциалов по мультиполям широко используется при решении задач с определёнными свойствами симметрии распределения зарядов, напр. в электро- и магнитостатике, теории электромагнитного излучения (см. Мультипольное излучение), акустике, общей теории относительности.