МУЛЬТИПО́ЛЬ

МУЛЬТИПО́ЛЬ (от лат. multum – мно­го и греч. πόλος – по­люс), оп­ре­де­лён­ная кон­фи­гу­ра­ция не­под­виж­ных или дви­жу­щих­ся элек­трич. за­ря­дов в ог­ра­ни­чен­ной об­лас­ти про­стран­ст­ва. Назв. «M.» вклю­ча­ет в се­бя обо­зна­че­ние чис­ла за­ря­дов (на греч. яз.), об­ра­зую­щих M.; напр., ок­ту­поль (от греч. ὀϰτώ – во­семь) оз­на­ча­ет, что в со­став M. вхо­дит 8 за­ря­дов. Про­стей­шие M.: то­чеч­ный за­ряд – мо­но­поль, или M. ну­ле­во­го по­ряд­ка; два рав­ных по аб­со­лют­ной ве­ли­чи­не, но про­ти­во­по­лож­ных по зна­ку за­ря­да – ди­поль, или M. 1-го по­ряд­ка; че­ты­ре рав­ных по аб­со­лют­ной ве­ли­чи­не за­ря­да, рас­по­ло­жен­ных в вер­ши­нах па­рал­ле­ло­грам­ма так, что ка­ж­дая его сто­ро­на со­еди­ня­ет за­ря­ды про­ти­во­по­лож­но­го зна­ка, – квад­ру­поль, или M. 2-го по­ряд­ка. М. ка­ж­до­го ти­па со­от­вет­ст­ву­ет своя осо­бая ха­рак­те­ри­сти­ка – муль­ти­поль­ный мо­мент.

Электрический мультиполь

Для сис­те­мы элек­трич. за­ря­дов $q_i$ ($i$ – но­мер за­ря­да), на­хо­дя­щих­ся в ог­ра­ни­чен­ной об­лас­ти про­стран­ст­ва с ха­рак­тер­ным раз­ме­ром $L$, по­тен­ци­ал элек­трич. по­ля в точ­ке, оп­ре­де­ляе­мой ра­ди­ус-век­то­ром $\boldsymbol R$, ра­вен $$φ({\boldsymbol R})=\frac{1}{4πε_0} \sum_1 \frac{q_i}{|{\boldsymbol R}-{\boldsymbol r}_i|},$$ где $ε_0$ – элек­трич. по­сто­ян­ная, ${\boldsymbol r}_i$ – ра­диус-век­тор за­ря­да $q_i$ (на­ча­ло ко­ор­ди­нат на­хо­дит­ся внут­ри сис­те­мы за­ря­дов). При $R≫L$ по­тен­ци­ал $φ({\boldsymbol R})$ мож­но раз­ло­жить в ряд: $$φ({\boldsymbol R})=\frac{1}{4πε_0}\left ( \frac{q}{R} +\frac{{\boldsymbol pR}}{R^3} + \frac{\sum\limits_{α,β} Q_{α,β} R_αR_β}{2R^5} +\, ...\, \right ),$$ где $q=\sum_iq_i$  – пол­ный за­ряд сис­те­мы (муль­ти­поль­ный мо­мент ну­ле­во­го по­ряд­ка), ${\boldsymbol p}=\sum_iq_i{\boldsymbol r}_i$ – ди­поль­ный мо­мент систе­мы за­ря­дов (муль­ти­поль­ный мо­мент 1-го по­ряд­ка), $Q_{α,β}=\sum_iq_i(3r_{iα}r_{iβ} - r_i^2 δ_{αβ})$ – тен­зор квад­ру­поль­но­го мо­мен­та сис­те­мы за­ря­дов (муль­ти­поль­ный мо­мент 2-го по­ряд­ка) и т. д. Здесь $α$ и $β$ оз­на­ча­ют оси сис­те­мы ко­ор­ди­нат ($α,\, β=1,\, 2,\, 3$; $1$ – ось $x$, $2$ – ось $y$, $3$ – ось $z$), $r_{iα}$ – про­ек­ция век­то­ра ${\boldsymbol r}_i$ на со­от­вет­ст­вую­щую ось, $δ_{αβ}$ – сим­вол Кро­не­ке­ра. При­ве­дён­ное раз­ло­же­ние по­тен­циа­ла $φ({\boldsymbol R})$ в ряд на­зы­ва­ет­ся раз­ло­же­ни­ем по муль­ти­по­лям или муль­ти­поль­ным раз­ло­же­ни­ем, где ка­ж­дый по­сле­дую­щий член учи­ты­ва­ет бо­лее де­таль­ное рас­пре­де­ле­ние за­ря­да.

При рас­смот­ре­нии по­ля на боль­ших рас­стоя­ни­ях в са­мом гру­бом при­бли­же­нии все за­ря­ды сис­те­мы мож­но за­ме­нить од­ним за­ря­дом, рав­ным за­ря­ду сис­те­мы. Ес­ли пол­ный за­ряд сис­те­мы ра­вен ну­лю, то на­до учи­ты­вать сле­дую­щий член раз­ло­же­ния – мыс­лен­но стя­нуть все от­ри­ца­тель­ные за­ря­ды в од­ну точ­ку, во­круг ко­то­рой они рас­пре­де­ле­ны, и ана­ло­гич­но по­ло­жи­тель­ные за­ря­ды – в др. точ­ку. Это при­ве­дёт к за­ме­не ис­тин­но­го рас­пре­де­ле­ния за­ря­дов ди­по­лем элек­три­че­ским

(«двух­по­люс­ни­ком»). При этом ди­поль­ный мо­мент ди­по­ля ${\boldsymbol p}=Q{\boldsymbol l}$, где ${\boldsymbol l}$ – век­тор, про­ве­дён­ный от от­ри­ца­тель­но­го за­ря­да $–Q$ к по­ло­жи­тель­но­му за­ря­ду $Q$. Ес­ли ди­поль­ный мо­мент сис­те­мы ра­вен ну­лю, то ис­поль­зу­ют сле­дую­щее при­бли­же­ние, за­ме­няя сис­те­му за­ря­дов квад­ру­по­лем

 >>

(«че­ты­рёх­по­люс­ни­ком») – дву­мя ди­по­ля­ми с рав­ны­ми по ве­ли­чи­не и про­ти­во­по­лож­ны­ми по на­прав­ле­нию ди­поль­ны­ми мо­мен­та­ми. Ещё бо­лее де­таль­ное опи­са­ние рас­пре­де­ле­ния за­ря­дов да­ёт учёт по­сле­дую­щих при­бли­же­ний, в ко­то­рых рас­пре­де­ле­ние за­ря­дов опи­сы­ва­ет­ся М. («мно­го­по­люс­ни­ка­ми»), учи­ты­ваю­щи­ми всё боль­шее чис­ло пар за­ря­дов.

Магнитный мультиполь

Для сис­те­мы элек­трич. за­ря­дов $q_i$, дви­жу­щих­ся со ско­ро­стя­ми ${\boldsymbol  v}_i$ в ог­ра­нич. об­лас­ти про­стран­ст­ва с ха­рак­тер­ным раз­ме­ром $L$, век­тор­ный по­тен­ци­ал в точ­ке, оп­ре­де­ляе­мой ра­ди­ус-век­то­ром ${\boldsymbol  R}$, ра­вен $${\boldsymbol A(\boldsymbol R)} =\frac{μ_0}{4π} \sum_i \frac{q_i{\boldsymbol v}_i}{|{\boldsymbol R} - {\boldsymbol r}_i|},$$ где $μ_0$ – маг­нит­ная по­сто­ян­ная. При $R≫L$ век­тор­ный по­тен­ци­ал ${\boldsymbol A(\boldsymbol R)}$ мож­но раз­ло­жить в ряд. Обыч­но ог­ра­ни­чи­ва­ют­ся пер­вым чле­ном раз­ло­же­ния: $${\boldsymbol A(\boldsymbol R)} \approx \frac{μ_0}{4π} \frac{{\boldsymbol M} \times {\boldsymbol R}}{R^3},$$ где ${\boldsymbol M} =(1/2) \sum_i q_i{\boldsymbol r}_i \times {\boldsymbol v}_i$ – маг­нит­ный мо­мент сис­те­мы за­ря­дов.

Раз­ло­же­ние элек­трич. и век­тор­но­го по­тен­циа­лов по муль­ти­по­лям ши­ро­ко ис­поль­зу­ет­ся при ре­ше­нии за­дач с оп­ре­де­лён­ны­ми свой­ст­ва­ми сим­мет­рии рас­пре­де­ле­ния за­ря­дов, напр. в элек­тро- и маг­ни­то­ста­ти­ке, тео­рии элек­тро­маг­нит­но­го из­лу­че­ния (см. Муль­ти­поль­ное из­лу­че­ние

), аку­сти­ке, об­щей тео­рии от­но­си­тель­но­сти.