МУЛЬТИПО́ЛЬ
-
Рубрика: Физика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
Книжная версия:
Электронная версия:
МУЛЬТИПО́ЛЬ (от лат. multum – много и греч. πόλος – полюс), определённая конфигурация неподвижных или движущихся электрич. зарядов в ограниченной области пространства. Назв. «M.» включает в себя обозначение числа зарядов (на греч. яз.), образующих M.; напр., октуполь (от греч. ὀϰτώ – восемь) означает, что в состав M. входит 8 зарядов. Простейшие M.: точечный заряд – монополь, или M. нулевого порядка; два равных по абсолютной величине, но противоположных по знаку заряда – диполь, или M. 1-го порядка; четыре равных по абсолютной величине заряда, расположенных в вершинах параллелограмма так, что каждая его сторона соединяет заряды противоположного знака, – квадруполь, или M. 2-го порядка. М. каждого типа соответствует своя особая характеристика – мультипольный момент.
Электрический мультиполь
Для системы электрич. зарядов qi (i – номер заряда), находящихся в ограниченной области пространства с характерным размером L, потенциал электрич. поля в точке, определяемой радиус-вектором \boldsymbol R, равен φ({\boldsymbol R})=\frac{1}{4πε_0} \sum_1 \frac{q_i}{|{\boldsymbol R}-{\boldsymbol r}_i|}, где ε_0 – электрич. постоянная, {\boldsymbol r}_i – радиус-вектор заряда q_i (начало координат находится внутри системы зарядов). При R≫L потенциал φ({\boldsymbol R}) можно разложить в ряд: φ({\boldsymbol R})=\frac{1}{4πε_0}\left ( \frac{q}{R} +\frac{{\boldsymbol pR}}{R^3} + \frac{\sum\limits_{α,β} Q_{α,β} R_αR_β}{2R^5} +\, ...\, \right ), где q=\sum_iq_i – полный заряд системы (мультипольный момент нулевого порядка), {\boldsymbol p}=\sum_iq_i{\boldsymbol r}_i – дипольный момент системы зарядов (мультипольный момент 1-го порядка), Q_{α,β}=\sum_iq_i(3r_{iα}r_{iβ} - r_i^2 δ_{αβ}) – тензор квадрупольного момента системы зарядов (мультипольный момент 2-го порядка) и т. д. Здесь α и β означают оси системы координат (α,\, β=1,\, 2,\, 3; 1 – ось x, 2 – ось y, 3 – ось z), r_{iα} – проекция вектора {\boldsymbol r}_i на соответствующую ось, δ_{αβ} – символ Кронекера. Приведённое разложение потенциала φ({\boldsymbol R}) в ряд называется разложением по мультиполям или мультипольным разложением, где каждый последующий член учитывает более детальное распределение заряда.
При рассмотрении поля на больших расстояниях в самом грубом приближении все заряды системы можно заменить одним зарядом, равным заряду системы. Если полный заряд системы равен нулю, то надо учитывать следующий член разложения – мысленно стянуть все отрицательные заряды в одну точку, вокруг которой они распределены, и аналогично положительные заряды – в др. точку. Это приведёт к замене истинного распределения зарядов диполем электрическим («двухполюсником»). При этом дипольный момент диполя {\boldsymbol p}=Q{\boldsymbol l}, где {\boldsymbol l} – вектор, проведённый от отрицательного заряда –Q к положительному заряду Q. Если дипольный момент системы равен нулю, то используют следующее приближение, заменяя систему зарядов квадруполем («четырёхполюсником») – двумя диполями с равными по величине и противоположными по направлению дипольными моментами. Ещё более детальное описание распределения зарядов даёт учёт последующих приближений, в которых распределение зарядов описывается М. («многополюсниками»), учитывающими всё большее число пар зарядов.
Магнитный мультиполь
Для системы электрич. зарядов q_i, движущихся со скоростями {\boldsymbol v}_i в огранич. области пространства с характерным размером L, векторный потенциал в точке, определяемой радиус-вектором {\boldsymbol R}, равен {\boldsymbol A(\boldsymbol R)} =\frac{μ_0}{4π} \sum_i \frac{q_i{\boldsymbol v}_i}{|{\boldsymbol R} - {\boldsymbol r}_i|}, где μ_0 – магнитная постоянная. При R≫L векторный потенциал {\boldsymbol A(\boldsymbol R)} можно разложить в ряд. Обычно ограничиваются первым членом разложения: {\boldsymbol A(\boldsymbol R)} \approx \frac{μ_0}{4π} \frac{{\boldsymbol M} \times {\boldsymbol R}}{R^3}, где {\boldsymbol M} =(1/2) \sum_i q_i{\boldsymbol r}_i \times {\boldsymbol v}_i – магнитный момент системы зарядов.
Разложение электрич. и векторного потенциалов по мультиполям широко используется при решении задач с определёнными свойствами симметрии распределения зарядов, напр. в электро- и магнитостатике, теории электромагнитного излучения (см. Мультипольное излучение), акустике, общей теории относительности.