МА́ЯТНИК

МА́ЯТНИК, ме­ха­нич. сис­те­ма, со­вер­шаю­щая ко­ле­ба­тель­ное дви­же­ние под дей­ст­ви­ем т. н. вос­ста­нав­ли­ваю­щей си­лы – си­лы, стре­мя­щей­ся воз­вра­тить сис­те­му в по­ло­же­ние рав­но­ве­сия.

Рис. 1. Схемы маятников: а – физического, б – математического. О – положение оси, С – центр масс, К – центр качания, φ – угол отклонения; 1 – материальная...

Роль вос­ста­нав­ли­ваю­щей си­лы мо­жет иг­рать си­ла тя­же­сти. В этом слу­чае М. пред­став­ля­ет со­бой мас­сив­ное те­ло, спо­соб­ное вра­щать­ся во­круг го­ри­зон­таль­ной (или на­клон­ной) оси, не про­хо­дя­щей че­рез его центр масс. Ес­ли рас­стоя­ние ме­ж­ду осью вра­ще­ния и цен­тром масс ме­ня­ет­ся во вре­мя ко­ле­ба­ний, М. на­зы­ва­ет­ся па­ра­мет­ри­че­ским, ес­ли это рас­стоя­ние по­сто­ян­но – фи­зи­че­ским (рис. 1, а). Фи­зич. М. на­зы­ва­ет­ся ма­те­ма­ти­че­ским, ес­ли рас­стоя­ние от то­чек ко­леб­лю­ще­го­ся те­ла до оси вра­ще­ния ве­ли­ко по срав­не­нию с раз­ме­ра­ми те­ла, а мас­са ни­ти или стерж­ня, со­еди­няю­щих ко­леб­лю­щее­ся те­ло с осью вра­ще­ния, пре­неб­ре­жи­мо ма­ла по срав­не­нию с мас­сой те­ла (т. е. те­ло мож­но счи­тать ма­те­ри­аль­ной точ­кой, рис. 1, б). Дос­та­точ­ным ус­ло­ви­ем для то­го, что­бы М. мож­но бы­ло на­звать ма­те­ма­ти­че­ским, яв­ля­ет­ся ма­лость раз­ме­ров про­ек­ции те­ла на плос­кость, пер­пен­ди­ку­ляр­ную оси ка­ча­ния, по срав­не­нию с рас­стоя­ния­ми от то­чек этой про­ек­ции до оси. Ес­ли та­кой М. со­вер­ша­ет ко­ле­ба­ния в од­ной плос­ко­сти и ам­пли­ту­да ко­ле­ба­ний дос­та­точ­но ма­ла, то ко­ле­ба­ния (в пре­неб­ре­же­нии тре­ни­ем) яв­ля­ют­ся гар­мо­ни­че­ски­ми, их пе­ри­од $T_0$ не за­ви­сит от ам­пли­ту­ды и оп­ре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем  $$T_0=2\pi \sqrt{\frac{l}{g\:\textrm{cos}\:\varphi }},$$

где $l$ – дли­на ма­те­ма­тич. М. (рас­стоя­ние от оси вра­ще­ния до ко­леб­лю­щей­ся мас­сы), $g$ – ус­ко­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния, $φ$ – угол от­кло­не­ния плос­ко­сти ка­ча­ния от вер­ти­ка­ли. В ча­ст­ном слу­чае ко­ле­ба­ний в вер­ти­каль­ной плос­ко­сти фор­му­ла при­об­ре­та­ет вид: . Для фи­зич. М. пе­ри­од ма­лых ко­ле­ба­ний в от­сут­ст­вие тре­ния оп­ре­де­ля­ет­ся тем же вы­ра­же­ни­ем, но на ме­сто $l$ ста­вит­ся ве­ли­чи­на $l_{пр}$, на­зы­вае­мая при­ве­дён­ной дли­ной

фи­зич. М.: $l{пр}=\frac{J_0}{ml_0}$, где $m$ – мас­са

фи­зич. М., $J_0$ – его мо­мент инер­ции от­но­си­тель­но оси вра­ще­ния, $l_0$ – рас­стоя­ние ме­ж­ду осью вра­ще­ния и цен­тром масс М. В об­щем слу­чае пе­ри­од пло­ских ко­ле­ба­ний М. за­ви­сит от ам­пли­ту­ды ко­ле­ба­ний.

В 1657 Х. Гюй­генс тео­ре­ти­че­ски обос­но­вал и за­тем скон­ст­руи­ро­вал ча­со­вой М., пе­ри­од ко­ле­ба­ний ко­то­ро­го не за­ви­сел от ам­пли­ту­ды. В пред­ло­жен­ном ме­ха­низ­ме плос­кое дви­же­ние ма­те­ма­тич. М. со­вер­ша­лось не по ду­ге ок­руж­но­сти, а по ду­ге цик­лои­ды (цик­лои­даль­ный М.). Позд­нее бы­ло най­де­но, что реа­ли­зо­вать поч­ти пол­ную не­за­ви­си­мость пе­рио­да ко­ле­ба­ний от ам­пли­ту­ды мож­но тех­ни­че­ски бо­лее про­сто. Для это­го фи­зич. М. при­кре­п­ля­ют к вер­ти­каль­ной уп­ру­гой пла­сти­не, из­гиб ко­то­рой при от­кло­не­нии М. прак­ти­че­ски уст­ра­ня­ет не­ли­ней­ность за­ви­си­мо­сти воз­вра­щаю­ще­го мо­мен­та си­лы тя­же­сти от уг­ла от­кло­не­ния. Этот при­ём ис­поль­зу­ет­ся в совр. ма­ят­ни­ко­вых ча­сах.

Рис. 2. Схема оборотного маятника. Г1, Г2, Г3 – грузы, П1, П2 – призмы; 1 – опора, 2 – устройство для измерения периода колебаний.

Точ­ка фи­зич. М., на­хо­дя­щая­ся на пря­мой, про­ве­дён­ной от оси ка­ча­ния че­рез центр масс, и рас­по­ло­жен­ная на рас­стоя­нии $l_{пр}$ от оси, на­зы­ва­ет­ся цен­тром ка­ча­ния. Ес­ли че­рез центр ка­ча­ния про­вес­ти но­вую ось ка­ча­ния, па­рал­лель­ную преж­ней, то пе­ри­од ко­ле­ба­ний фи­зич. М. ос­та­нет­ся не­из­мен­ным, а по­ло­же­ние преж­ней оси ста­нет но­вым цен­тром ка­ча­ния. Это свой­ст­во ис­поль­зу­ет­ся в обо­рот­ном М. (рис. 2), при­ме­няе­мом в гра­ви­мет­рии. Он пред­став­ля­ет со­бой стер­жень с од­ним или не­сколь­ки­ми под­виж­ны­ми гру­за­ми и дву­мя приз­ма­ми, по­оче­рёд­но по­ме­щае­мы­ми на опо­ру, слу­жа­щую осью ка­ча­ния М. Пе­ре­ме­щая гру­зы, до­би­ва­ют­ся ра­вен­ст­ва пе­рио­дов ма­лых ко­ле­ба­ний М. при опо­ре на ка­ж­дую из призм. Т. о., за­дан­ное рас­стоя­ние ме­ж­ду приз­ма­ми бу­дет рав­нять­ся $l_{пр}$ по­лучен­но­го М., что по из­ме­рен­но­му пе­рио­ду ко­ле­ба­ний по­зво­ля­ет оп­ре­де­лить ус­ко­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния с точ­но­стью ок. 10^–5 м/c².

Про­стран­ст­вен­ное по­ло­же­ние плос­ко­сти ко­ле­ба­ний ма­те­ма­тич. М. ос­та­ёт­ся прак­ти­че­ски не­из­мен­ным, что по­зво­ля­ет за­ме­тить дви­же­ние плос­ко­сти ко­ле­ба­ний М. от­но­си­тель­но по­верх­но­сти Зем­ли вслед­ст­вие су­точ­но­го вра­ще­ния по­след­ней (см. Фу­ко ма­ят­ник). При ис­поль­зо­ва­нии оп­ре­де­лён­но­го ти­па под­ве­са (напр., сфе­рич. или кар­да­но­во­го шар­ни­ра) центр масс М. мо­жет так­же со­вер­шать ко­ле­ба­ния по сфе­рич. по­верх­но­сти, об­ра­щён­ной вы­пук­ло­стью вниз (сфе­ри­че­ский М.). Ча­ст­ным слу­ча­ем сфе­рич. М. яв­ля­ет­ся ко­ни­че­ский М., в ко­то­ром центр масс М. опи­сы­ва­ет го­ри­зон­таль­ную ок­руж­ность.

В ка­че­ст­ве вос­ста­нав­ли­ваю­щей си­лы мо­жет вы­сту­пать так­же си­ла уп­ру­го­сти. В этом слу­чае М. пред­став­ля­ет со­бой груз, при­кре­п­лён­ный к уп­ру­го­му эле­мен­ту. При от­кло­не­нии гру­за от по­ло­же­ния рав­но­ве­сия на­блю­да­ют­ся по­сту­пат. ко­ле­ба­ния гру­за, воз­ни­каю­щие при сжа­тии и рас­тя­же­нии лёг­кой пру­жи­ны или др. уп­ру­го­го те­ла (пру­жин­ный М.), или вра­щат. ко­ле­ба­ния гру­за под дей­ст­ви­ем мо­мен­та сил, воз­ни­каю­щих при за­кру­чи­ва­нии ни­ти, пру­жи­ны или стерж­ня с пре­неб­ре­жи­мо ма­лым мо­мен­том инер­ции (кру­тиль­ный М.). Ес­ли уп­ру­гий эле­мент та­ких М. под­чи­ня­ет­ся Гу­ка за­ко­ну, то в от­сут­ст­вие тре­ния ко­ле­ба­ния М. яв­ля­ют­ся гар­мо­ни­че­ски­ми. Их пе­ри­од $T$ не за­ви­сит от ам­пли­ту­ды ко­ле­ба­ний: для пру­жин­но­го М. $T=2\pi \sqrt{m/k}$, где $m$ – мас­са гру­за, $𝑘$ – жё­ст­кость пру­жи­ны; для кру­тиль­но­го М. $T=2\pi \sqrt{J/f}$, где $J$ – мо­мент инер­ции гру­за от­но­си­тель­но оси вра­ще­ния, $f$ – мо­дуль кру­че­ния уп­ру­го­го эле­мен­та.

Разл. ма­ят­ни­ко­вые при­бо­ры ши­ро­ко при­ме­ня­ют­ся в тех­ни­ке. Наи­бо­лее из­вест­ный ма­ят­ни­ко­вый при­бор – ме­ха­нич. ча­сы, в ко­то­рых ис­поль­зу­ет­ся фи­зич. или кру­тиль­ный М. Кру­тиль­ный М. яв­ля­ет­ся так­же осн. эле­мен­том кру­тиль­ных ве­сов, а пру­жин­ный М. – ак­се­ле­ромет­ра. Ма­ят­ни­ко­вые при­бо­ры при­ме­ня­ют­ся в сейс­мо­гра­фах, цен­тро­беж­ных ре­гу­ля­то­рах ско­ро­сти; с их по­мо­щью из­ме­ря­ют мо­мен­ты инер­ции тел, ско­ро­сти пуль и сна­ря­дов (бал­ли­сти­че­ские М.), с по­мо­щью на­клон­ных М. (фи­зич. М., в ко­то­рых груз-ша­рик ка­та­ет­ся по на­клон­ной плос­ко­сти) ис­сле­ду­ют тре­ние ка­че­ния и т. д.