КОГЕРЕ́НТНОЕ СОСТОЯ́НИЕ

КОГЕРЕ́НТНОЕ СОСТОЯ́НИЕ, со­стоя­ние кван­то­вой сис­те­мы, по сво­им свой­ст­вам мак­си­маль­но близ­кое к клас­сич. со­стоя­нию. Для гар­мо­нич. ос­цил­ля­то­ра в этом со­стоя­нии про­из­ве­де­ние дис­пер­сий ко­ор­ди­на­ты $\sigma_{qq}$ и им­пуль­са $\sigma_{pp}$ при­ни­ма­ет ми­ни­маль­но воз­мож­ное зна­че­ние в рам­ках не­оп­ре­де­лён­но­стей со­от­но­ше­ния

, т. е. $\sigma_{qq}\sigma_{pp}=\hbar^2/4$, где $ℏ$– по­сто­ян­ная План­ка. При этом без­раз­мер­ные дис­пер­сии $\sigma_{qq}/l^2$ и $\sigma_{pp}/p_0^2$, где $\sigma_{pp}/l^2$ и $\sigma_{pp}/p_0^2,$ где $l^2=\hbar/m\omega, p_0^2=\hbar m\omega$ ($m$ – мас­са, $ω$ – час­то­та ос­цил­ля­то­ра), рав­ны ¹/₂, как для осн. со­стоя­ния клас­сич. ос­цил­ля­то­ра. К. с. ос­цил­ля­то­ра (с век­то­ром со­стоя­ния $|α〉$) опи­сы­ва­ет­ся вол­но­вой функ­ци­ей, имею­щей вид га­ус­со­ва вол­но­во­го па­ке­та:  $$\psi_\alpha (x, t)= \frac{e^{-i \omega t/2}}{\sqrt[4]{\pi}}exp\big[-\frac{x^2}{2l^2}+\sqrt2 \alpha e^{-i \omega t} \frac{x}{l}-\frac{\alpha^2}{2}e^{-2i \omega t}-\frac{|\alpha|^2}{2}\big]. \tag 1$$

Здесь $x$– ко­ор­ди­на­та ос­цил­ля­то­ра, $t$– вре­мя, $\alpha=\alpha_1+i\alpha_2$ – ком­плекс­ное чис­ло. Ср. зна­че­ние ко­ор­ди­на­ты $\langle x\rangle$ ос­цил­ля­то­ра в К. с. при $t=0$ вы­ра­жа­ет­ся че­рез дей­ст­ви­тель­ную часть чис­ла $\alpha$ , т. е. $\langle x\rangle=\sqrt2{\alpha_1}$, а ср. зна­че­ние им­пуль­са $\langle p \rangle=\sqrt 2 \alpha_2$. Ср. зна­че­ния ко­ор­ди­на­ты и им­пуль­са с те­чени­ем вре­ме­ни из­ме­ня­ют­ся точ­но так же, как для клас­сич. ос­цил­ля­то­ра. Та­ким об­ра­зом, К. с. пред­став­ля­ет со­бой не­рас­плы­ваю­щий­ся со вре­ме­нем вол­но­вой па­кет, центр ко­то­ро­го дви­жет­ся по клас­сич. тра­ек­то­рии, т. е. со­вер­ша­ет гар­мо­нич. ко­ле­ба­ние. Ма­те­ма­тич. ха­рак­те­ри­сти­ка К. с. за­да­ёт­ся фор­му­лой $$\hat a \psi_{\alpha} (x, 0)=\alpha \psi_{\alpha}(x, 0)\tag 2$$ где $\hat a$ – опе­ра­тор унич­то­же­ния ко­ле­ба­ний, ко­то­рый вы­ра­жа­ет­ся че­рез опе­ра­то­ры ко­ор­ди­на­ты $\hat{q}=x$ и им­пуль­са $\hat{p}=-i\hbar \partial/ \partial x$ со­от­но­ше­ни­ем $$\hat a=\frac{1}{\sqrt2}\bigg (\frac{\hat q}{l}+i\frac{\hat p}{p_0}\bigg).\tag 3$$

Су­ще­ст­ву­ет и опе­ра­тор ро­ж­де­ния ко­ле­ба­ний $\hat a^+=\frac{1}{\sqrt2}\bigg (\frac{\hat q}{l}-i\frac{\hat p}{p_0}\bigg).$

На­зва­ния опе­ра­то­ров свя­за­ны с тем, что дей­ст­вие $\hat a^+$ на со­стоя­ние $|n〉$гар­мо­нич. ос­цил­ля­то­ра с за­дан­ной энер­ги­ей $ℰ_n=ℏω (n+½), n= 0,1,2,…$ пе­ре­во­дит ос­цил­ля­тор в воз­бу­ж­дён­ное со­стоя­ние $|n+1〉$, уве­ли­чи­вая его энер­гию на квант $ℏω$, а дей­ст­вие опе­ра­то­ра $â$ на со­стоя­ние $|n〉$ умень­ша­ет энер­гию ос­цил­ля­то­ра на этот же квант.

К. с. кван­то­вой сис­те­мы мож­но пред­ста­вить в ви­де сум­мы $n$ со­стоя­ний ос­цил­ля­то­ра с за­дан­ны­ми уров­ня­ми энер­гии $ℰ_n=ℏω(n+½), n=0,1,2,…$ т. е. $$\psi_{\alpha}(x, 0)=e^{-|\alpha|^2/2} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\alpha^n}{\sqrt n! }\psi_n (x),\tag 4$$ где $\psi_n (x)$ вы­ра­жа­ет­ся че­рез по­ли­ном Эр­ми­та.

Элек­тро­маг­нит­ное по­ле яв­ля­ет­ся на­бо­ром мод гар­мо­нич. ко­ле­ба­ний ос­цил­ля­то­ров по­ля (фо­то­нов). По­это­му К. с. кван­то­ван­но­го элек­тро­маг­нит­но­го по­ля мак­си­маль­но близ­ко со­от­вет­ст­ву­ет ко­ле­ба­ни­ям клас­сич. элек­тро­маг­нит­но­го по­ля, об­ла­дая при этом свой­ст­вом ко­ге­рент­но­сти. Для фо­то­нов в К. с. $|α〉$ фор­му­ле раз­ло­же­ния вол­но­вой функ­ции ос­цил­ля­то­ра (4) со­от­вет­ст­ву­ет фор­му­ла раз­ло­же­ния К. с.:
$$|α\rangle=e^{-{|\alpha|^2}/2} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\alpha^n}{\sqrt n! }|n\rangle$$

К. с. ис­поль­зу­ют­ся для опи­са­ния не толь­ко ос­цил­ля­то­ра в кван­то­вой ме­ха­ни­ке и фо­то­нов в кван­то­вой элек­тро­ди­на­ми­ке, но и кван­то­вых со­стоя­ний лю­бых бо­зо­нов, опе­ра­то­ры ро­ж­де­ния $\hat {a}^+$ и унич­то­же­ния $\hat {a}$ ко­то­рых удов­ле­тво­ряют ком­му­та­ци­он­ным со­от­но­ше­ни­ям $[\hat {a}, \hat {a}^+]=1.$ Та­ки­ми бо­зон­ны­ми по­ля­ми яв­ля­ют­ся, напр., пио­ны и все эле­мен­тар­ные час­ти­цы с це­лым спи­ном, а так­же кван­ты зву­ка – фо­но­ны. Свой­ст­ва сверх­те­ку­че­сти

и сверх­про­во­ди­мо­сти

 >>

так­же мож­но объ­яс­нить тем, что в К. с. на­хо­дят­ся сверх­те­ку­чая ком­по­нен­та в жид­ком ге­лии и ку­пе­ров­ские пá­ры в сверх­про­вод­ни­ках (см. Кван­то­вая ко­ге­рент­ность

 >>

).