КЕ́ПЛЕРА УРАВНЕ́НИЕ

КЕ́ПЛЕРА УРАВНЕ́НИЕ, транс­цен­дент­ное урав­не­ние ви­да $y-c \cdot \sin(y)=x$. Впер­вые рас­смат­ри­ва­лось И. Ке­п­ле­ром в кн. «Но­вая ас­тро­но­мия» (1609) в свя­зи с за­да­ча­ми не­бес­ной ме­ха­ни­ки. В ас­тро­но­мии под К. у. по­ни­ма­ют урав­не­ние, свя­зы­ваю­щее экс­цен­три­че­скую ано­ма­лию $E$ эл­лип­тич. ор­би­ты не­бес­но­го те­ла с его ср. анома­ли­ей $M$ (см. Ано­ма­лии в не­бес­ной ме­ха­ни­ке): $E-e \cdot \sin(E)=M$, где $e$ – экс­цен­три­си­тет ор­би­ты. Ср. ано­ма­лия яв­ля­ет­ся ли­ней­ной функ­ци­ей вре­ме­ни $t$: $M=n(t-\tau)$, где $n$ – уг­ло­вая ско­рость ор­би­таль­но­го дви­же­ния, на­зы­вае­мая в ас­тро­но­мии сред­ним дви­же­ни­ем, $\tau$ – мо­мент про­хо­ж­де­ния те­ла че­рез пе­ри­центр ор­би­ты. К. у. иг­ра­ет важ­ную роль в ас­тро­но­мии при оп­ре­де­ле­нии эле­мен­тов эл­лип­тич. ор­бит не­бес­ных тел (пла­нет, ас­те­рои­дов, ко­мет, двой­ных звёзд).

К. у. ис­сле­до­ва­ли мн. зна­ме­ни­тые ма­те­ма­ти­ки и ас­тро­но­мы. Так, Ж. Ла­гранж в 1771 раз­ло­жил ко­рень К. у. в бес­ко­неч­ный ряд по сте­пе­ням экс­цен­три­си­те­та $e$; П. Ла­п­лас в 1823 до­ка­зал аб­со­лют­ную схо­ди­мость это­го ря­да вплоть до зна­че­ния $e=0,6627\dots$ , по­лу­чив­ше­го на­зва­ние пре­де­ла Ла­п­ла­са. К. Га­усс в 1809 до­ка­зал эф­фек­тив­ность ре­ше­ния К. у. ме­то­дом по­сле­до­ва­тель­ных при­бли­же­ний.