Э́ЙЛЕРА ФО́РМУЛЫ

Э́ЙЛЕРА ФО́РМУЛЫ, фор­му­лы, свя­зы­ваю­щие три­го­но­мет­рич. функ­ции с по­ка­за­тель­ной функ­ци­ей: $$e^{ix}=\cos x+i\sin x,\\ \cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2},\quad\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}, $$ где $i$ – мни­мая еди­ни­ца. Ус­та­нов­ле­на Л. Эй­ле­ром (1743). След­ст­ви­ем пер­вой из этих фор­мул яв­ля­ет­ся ра­вен­ст­во $$e^{iπ}+1=0.$$

Л. Эй­ле­ру при­над­ле­жат так­же мн. др. фор­му­лы в разл. раз­де­лах ма­те­ма­ти­ки. Та­ко­вы, напр., фор­му­ла, даю­щая пред­став­ле­ние функ­ции $\sin x$ в ви­де бес­ко­неч­но­го про­из­ве­де­ния (см. в ст. Функ­ция), ус­та­нов­лен­ная им в 1740, и то­ж­де­ст­во Эй­ле­ра о про­стых чис­лах (1737), вы­ра­жаю­щее дзе­та-функ­цию Ри­ма­на в ви­де бес­ко­неч­но­го про­из­ве­де­ния.

В тео­рии по­верх­но­стей ис­поль­зу­ет­ся Э. ф. о кри­виз­нах (1760), свя­зы­ваю­щая кри­виз­ну $k_n$ лю­бо­го нор­маль­но­го се­че­ния по­верх­но­сти с её гл. кри­виз­на­ми $k_1$ и $k_2$: $$k_n=k_1\cos^2φ+k_2sin^2φ,$$ где $φ$ – угол ме­ж­ду од­ним из гл. на­прав­ле­ний и дан­ным на­прав­ле­ни­ем.

В ма­те­ма­ти­ке ис­поль­зу­ют­ся так­же фор­му­лы, от­кры­тые Эй­ле­ром, а за­тем по­лу­чен­ные др. ма­те­ма­ти­ка­ми. Та­ко­вы, напр., фор­му­лы Эй­ле­ра – Фу­рье для Фу­рье ко­эф­фи­ци­ен­тов, ус­та­нов­лен­ные Эй­ле­ром (1777) и за­тем сис­те­ма­ти­че­ски (с 1811) ис­поль­зо­вав­шие­ся Ж. Фу­рье для ре­ше­ния за­дач те­п­ло­про­вод­но­сти.