УРАВНЕ́НИЕ

УРАВНЕ́НИЕ, ана­ли­ти­че­ская за­пись за­да­чи об оп­ре­де­ле­нии зна­че­ний ар­гу­мен­тов, при ко­то­рых зна­че­ния двух за­дан­ных функ­ций рав­ны. Ар­гу­мен­ты, от ко­то­рых за­ви­сят эти функ­ции, обыч­но на­зы­ва­ют не­из­вест­ны­ми, а зна­че­ния не­из­вест­ных, при ко­то­рых зна­че­ния функ­ций рав­ны, – ре­ше­ния­ми (кор­ня­ми) У.; о та­ких зна­че­ни­ях не­из­вест­ных го­во­рят, что они удов­ле­тво­ря­ют дан­но­му У. Напр., $3x-6=0$ яв­ля­ет­ся У. с од­ним не­из­вест­ным, а $x=2$ есть его ре­ше­ние; $x^2+y^2=25$ – У. с дву­мя не­из­вест­ны­ми, а $x=3$, $y=4$ есть од­но из его ре­ше­ний. Со­во­куп­ность ре­ше­ний дан­но­го У. за­ви­сит от об­лас­ти $M$ зна­че­ний, до­пус­кае­мых для не­из­вест­ных. У. мо­жет не иметь ре­ше­ний в $M$, то­гда оно на­зы­ва­ет­ся не­раз­ре­ши­мым в об­лас­ти $M$. Ес­ли У. раз­ре­ши­мо, то оно мо­жет иметь од­но, или нес­коль­ко, или да­же бес­ко­неч­ное мно­же­ст­во ре­ше­ний. Напр., У. $x^4-4=0$ не­раз­ре­ши­мо в об­лас­ти ра­цио­наль­ных чи­сел, но оно име­ет два ре­шения $x_1=\sqrt{2}$, $x_2=-\sqrt{2}$ в об­лас­ти дей­ст­ви­тель­ных чи­сел и че­ты­ре ре­ше­ния $x_1=\sqrt{2}$, $x_2=-\sqrt{2}$, $x_3=i\sqrt{2}$, $x_4=-i\sqrt{2}$, в об­лас­ти ком­плекс­ных чи­сел. У. $\sin x=0$ име­ет бес­ко­неч­ное мно­же­ст­во ре­ше­ний $x_k=πk$, $k=0,±1,±2,...,$ в об­лас­ти дей­ст­ви­тель­ных чи­сел. Ес­ли У. име­ет ре­шения­ми все чис­ла об­лас­ти $M$, то оно на­зы­ва­ет­ся то­ж­де­ст­вом в об­лас­ти $M$. Напр., У. $x=\sqrt{x^2}$ яв­ля­ет­ся то­ж­де­ст­вом на мно­же­ст­ве не­от­ри­ца­тель­ных чи­сел и не яв­ля­ет­ся то­ж­де­ст­вом в об­лас­ти дей­ст­ви­тель­ных чи­сел.

Со­во­куп­ность У., для ко­то­рых тре­бу­ет­ся най­ти зна­че­ния не­из­вест­ных, удов­ле­тво­ряю­щие од­но­вре­мен­но всем этим У., на­зы­ва­ет­ся сис­те­мой У.; зна­че­ния не­из­вест­ных, удов­ле­тво­ряю­щие од­но­вре­мен­но всем У. сис­те­мы, – ре­ше­ния­ми сис­те­мы. Напр., со­во­куп­ность У. $x+2y=5$, $2x+y-z=1$ яв­ля­ет­ся сис­те­мой двух У. с тре­мя не­из­вест­ны­ми; од­ним из ре­ше­ний этой сис­те­мы яв­ля­ет­ся $x=1$, $y=2$, $z=3$.

Две сис­те­мы У. (или два У.) на­зы­ва­ют­ся рав­но­силь­ны­ми, ес­ли ка­ж­дое ре­ше­ние од­ной сис­те­мы (од­но­го У.) яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем дру­гой сис­те­мы (дру­го­го У.), и на­обо­рот, при­чём обе сис­те­мы (оба У.) рас­смат­ри­ва­ют­ся в од­ной и той же об­лас­ти. Напр., У. $x-4=0$ и $2x-8=0$ рав­но­силь­ны, т. к. ре­ше­ния­ми обо­их У. яв­ля­ет­ся лишь $x=4$. Про­цесс по­ис­ка ре­ше­ний У. обыч­но за­клю­ча­ет­ся в за­ме­не дан­но­го У. рав­но­силь­ным. В не­ко­то­рых слу­ча­ях при­хо­дит­ся за­ме­нять дан­ное У. дру­гим, для ко­то­ро­го со­во­куп­ность ре­ше­ний ши­ре, чем у дан­но­го У. Ре­ше­ния но­во­го У., не яв­ляю­щие­ся ре­ше­ния­ми дан­но­го У., на­зы­ва­ют­ся по­сто­рон­ни­ми ре­ше­ния­ми (кор­ня­ми). Напр., воз­во­дя в квад­рат У. $\sqrt{x-3}=-2$ по­лу­ча­ют У. $x-3=4$, ре­ше­ние ко­то­ро­го $x=7$ яв­ля­ет­ся по­сто­рон­ним для ис­ход­но­го У. По­это­му ес­ли при ре­ше­нии У. про­из­во­ди­лись дей­ст­вия, мо­гу­щие при­вес­ти к по­яв­ле­нию по­сто­рон­них ре­ше­ний (напр., воз­ве­де­ние У. в квад­рат), то все по­лу­чен­ные ре­ше­ния пре­об­ра­зо­ван­но­го У. про­ве­ря­ют под­ста­нов­кой в ис­ход­ное урав­не­ние.

Наи­бо­лее изу­че­ны У., для ко­то­рых вхо­дя­щие в них функ­ции яв­ля­ют­ся мно­го­чле­на­ми, – ал­геб­раи­че­ские урав­не­ния

Од­но­му У. с дву­мя не­из­вест­ны­ми мож­но со­пос­та­вить ли­нию на плос­ко­сти, ко­ор­ди­на­ты всех то­чек ко­то­рой удов­ле­тво­ря­ют дан­но­му У. Од­но­му У. с тре­мя не­из­вест­ны­ми мож­но со­пос­та­вить по­верх­ность в трёх­мер­ном про­стран­ст­ве. При та­кой ин­тер­пре­та­ции ре­ше­ние сис­те­мы У. сов­па­да­ет с за­да­чей на­хо­ж­де­ния то­чек пе­ре­се­че­ния ли­ний, по­верх­но­стей и т. д.; У. с боль­шим чис­лом не­из­вест­ных мож­но со­пос­та­вить мно­го­об­ра­зие в мно­го­мер­ном про­стран­ст­ве.

В тео­рии чи­сел и в др. раз­де­лах ма­те­ма­ти­ки важ­ную роль иг­ра­ют дио­фан­то­вы урав­не­ния

На­ря­ду с во­про­са­ми на­хо­ж­де­ния ре­ше­ний У. раз­лич­но­го ви­да, в об­щей тео­рии изу­ча­ют­ся во­про­сы о су­ще­ст­во­ва­нии и един­ст­вен­но­сти ре­ше­ния, о не­пре­рыв­но­сти за­ви­си­мо­сти ре­ше­ния от тех или иных дан­ных и т. д.