УРАВНЕ́НИЕ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
УРАВНЕ́НИЕ, аналитическая запись задачи об определении значений аргументов, при которых значения двух заданных функций равны. Аргументы, от которых зависят эти функции, обычно называют неизвестными, а значения неизвестных, при которых значения функций равны, – решениями (корнями) У.; о таких значениях неизвестных говорят, что они удовлетворяют данному У. Напр., $3x-6=0$ является У. с одним неизвестным, а $x=2$ есть его решение; $x^2+y^2=25$ – У. с двумя неизвестными, а $x=3$, $y=4$ есть одно из его решений. Совокупность решений данного У. зависит от области $M$ значений, допускаемых для неизвестных. У. может не иметь решений в $M$, тогда оно называется неразрешимым в области $M$. Если У. разрешимо, то оно может иметь одно, или несколько, или даже бесконечное множество решений. Напр., У. $x^4-4=0$ неразрешимо в области рациональных чисел, но оно имеет два решения $x_1=\sqrt{2}$, $x_2=-\sqrt{2}$ в области действительных чисел и четыре решения $x_1=\sqrt{2}$, $x_2=-\sqrt{2}$, $x_3=i\sqrt{2}$, $x_4=-i\sqrt{2}$, в области комплексных чисел. У. $\sin x=0$ имеет бесконечное множество решений $x_k=πk$, $k=0,±1,±2,...,$ в области действительных чисел. Если У. имеет решениями все числа области $M$, то оно называется тождеством в области $M$. Напр., У. $x=\sqrt{x^2}$ является тождеством на множестве неотрицательных чисел и не является тождеством в области действительных чисел.
Совокупность У., для которых требуется найти значения неизвестных, удовлетворяющие одновременно всем этим У., называется системой У.; значения неизвестных, удовлетворяющие одновременно всем У. системы, – решениями системы. Напр., совокупность У. $x+2y=5$, $2x+y-z=1$ является системой двух У. с тремя неизвестными; одним из решений этой системы является $x=1$, $y=2$, $z=3$.
Две системы У. (или два У.) называются равносильными, если каждое решение одной системы (одного У.) является решением другой системы (другого У.), и наоборот, причём обе системы (оба У.) рассматриваются в одной и той же области. Напр., У. $x-4=0$ и $2x-8=0$ равносильны, т. к. решениями обоих У. является лишь $x=4$. Процесс поиска решений У. обычно заключается в замене данного У. равносильным. В некоторых случаях приходится заменять данное У. другим, для которого совокупность решений шире, чем у данного У. Решения нового У., не являющиеся решениями данного У., называются посторонними решениями (корнями). Напр., возводя в квадрат У. $\sqrt{x-3}=-2$ получают У. $x-3=4$, решение которого $x=7$ является посторонним для исходного У. Поэтому если при решении У. производились действия, могущие привести к появлению посторонних решений (напр., возведение У. в квадрат), то все полученные решения преобразованного У. проверяют подстановкой в исходное уравнение.
Наиболее изучены У., для которых входящие в них функции являются многочленами, – алгебраические уравнения. Среди систем У. простейшими являются системы линейных уравнений.
Одному У. с двумя неизвестными можно сопоставить линию на плоскости, координаты всех точек которой удовлетворяют данному У. Одному У. с тремя неизвестными можно сопоставить поверхность в трёхмерном пространстве. При такой интерпретации решение системы У. совпадает с задачей нахождения точек пересечения линий, поверхностей и т. д.; У. с большим числом неизвестных можно сопоставить многообразие в многомерном пространстве.
В теории чисел и в др. разделах математики важную роль играют диофантовы уравнения.
Наряду с вопросами нахождения решений У. различного вида, в общей теории изучаются вопросы о существовании и единственности решения, о непрерывности зависимости решения от тех или иных данных и т. д.